Zugeordnete Legendrepolynome - de.LinkFang.org

Zugeordnete Legendrepolynome




Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw. assoziierten Legendrepolynomen, auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt, handelt es sich um Funktionen, die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden. Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind, sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw. assoziierten Legendrefunktionen.

Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Lösungen der allgemeinen Legendregleichung:

\({\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}\,y}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\left(\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0}\)

Diese gewöhnliche Differentialgleichung hat nicht-singuläre Lösungen im Intervall \({\displaystyle [-1,1]}\) nur dann, wenn \({\displaystyle \ell \,}\) und \({\displaystyle m\,}\) ganzzahlig sind mit \({\displaystyle 0\leq m\leq \ell }\).

Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung (und damit den zugeordneten Legendrepolynomen) häufig in der Physik, insbesondere wenn eine sphärische Symmetrie vorliegt, wie beispielsweise im Zentralpotential. Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zurückführen. Das prominenteste Beispiel hierfür ist die quantenmechanische Lösung der Energiezustände des Wasserstoffatoms.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Die zugeordneten Legendrepolynome werden als \({\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}\) bezeichnet. Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewöhnlichen Legendrepolynomen definieren:


\({\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}P_{\ell }(x)}\)

wobei \({\displaystyle P_{\ell }(x)}\) das \({\displaystyle \ell }\)-te Legendrepolynom ist

\({\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{\ell }}{\mathrm {d} x^{\ell }}}\left(x^{2}-1\right)^{\ell }}\).

Daraus ergibt sich

\({\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\,\ell !}}\left(1-x^{2}\right)^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{\ell +m}}{\mathrm {d} x^{\ell +m}}}\left(x^{2}-1\right)^{\ell }.}\)

Zusammenhang mit Legendrepolynomen


Die verallgemeinerte Legendregleichung geht für \({\displaystyle m=0}\) in die Legendregleichung über, sodass \({\displaystyle P_{\ell }^{(0)}(x)=P_{\ell }(x)}\) gilt.

Orthogonalität


Für die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall \({\displaystyle I=[-1,1]}\) zwei Orthogonalitätsrelationen:

\({\displaystyle \int \limits _{-1}^{+1}P_{\ell }^{(m)}(x)\,P_{k}^{(m)}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2}{2\,\ell +1}}\,{\frac {(\ell +m)!}{(\ell -m)!}}\,\delta _{\ell k}.}\)
\({\displaystyle \int \limits _{-1}^{+1}P_{\ell }^{(m)}(x)\,P_{\ell }^{(n)}(x)\cdot {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}\,\delta _{mn}.}\)

Das zweite Integral ist allerdings nur definiert, wenn entweder \({\displaystyle m}\) oder \({\displaystyle n}\) ungleich 0 ist.

Zusammenhang mit der Einheitskugel


Am wichtigsten ist der Fall \({\displaystyle x=\cos \vartheta }\). Die zugeordnete Legendre-Gleichung lautet dann

\({\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \vartheta }}+\left[\ell \,(\ell +1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}\right]y=0.}\)

Da nach der Substitutionsregel

\({\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(\cos \vartheta )\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta =\int _{-1}^{1}f(x)\mathrm {d} x}\)

gilt, übertragen sich obige Orthogonalitätsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel.

Über \({\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )}\) werden die sog. Kugelflächenfunktionen definiert als

\({\displaystyle Y_{\ell }^{(m)}(\varphi ,\vartheta )={\sqrt {{\frac {2\,\ell +1}{4\,\pi }}\,{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{(m)}(\cos \vartheta )\,\mathrm {e} ^{i\,m\,\varphi },}\)

welche auf der Einheitskugel ein vollständiges Orthonormalsystem bilden.

Die ersten zugeordneten Legendrepolynome


Für die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel

\({\displaystyle (\ell -m)\,P_{\ell }^{(m)}(x)=x\,(2\,\ell -1)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x)-(\ell +m-1)\,P_{\ell -2}^{(m)}(x).}\)

Die zugehörigen Startwerte der Rekursionsformel stellen sie wie folgt dar:

\({\displaystyle P_{m}^{(m)}(x)=(-1)^{m}\cdot {\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}\cdot \left(1-x^{2}\right)^{m/2}\quad ,\quad P_{k}^{m}(x)=0\;,\quad \forall k<m}\)

Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu

\({\displaystyle P_{0}^{(0)}(x)=1\!\,}\)
\({\displaystyle P_{1}^{(0)}(x)=x\!\,}\)
\({\displaystyle P_{1}^{(1)}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}}\)
\({\displaystyle P_{2}^{(0)}(x)={\frac {1}{2}}\,(3\,x^{2}-1)}\)
\({\displaystyle P_{2}^{(1)}(x)=-3\,x{\sqrt {1-x^{2}}}}\)
\({\displaystyle P_{2}^{(2)}(x)=3\,(1-x^{2})}\)

Und mit \({\displaystyle \cos \vartheta }\) als Argument

\({\displaystyle P_{0}^{(0)}(\cos \vartheta )=1}\)
\({\displaystyle P_{1}^{(0)}(\cos \vartheta )=\cos \vartheta }\)
\({\displaystyle P_{1}^{(1)}(\cos \vartheta )=-\sin \vartheta }\)
\({\displaystyle P_{2}^{(0)}(\cos \vartheta )={\frac {1}{2}}\,(3\,\cos ^{2}\vartheta -1)}\)
\({\displaystyle P_{2}^{(1)}(\cos \vartheta )=-3\,\sin \vartheta \,\cos \vartheta }\)
\({\displaystyle P_{2}^{(2)}(\cos \vartheta )=3\,\sin ^{2}\vartheta }\)

Zugeordnete Legendrefunktionen 2. Art


Ähnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome \({\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}\) nur eine Gruppe von Lösungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar. Die zugeordneten Legendrefunktionen 2. Art \({\displaystyle Q_{\ell }^{(m)}(x)}\) stellen ebenso Lösungen dar. Auch für sie gilt \({\displaystyle Q_{\ell }^{(0)}=Q_{\ell }}\) mit den Legendrefunktionen 2. Art \({\displaystyle Q_{\ell }(x)}\).

Weblinks


Literatur










Kategorien: Theorie der Differentialgleichungen | Quantenmechanik | Atomphysik








Stand der Informationen: 03.07.2020 03:05:56 CEST

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