Würfel (Geometrie) - de.LinkFang.org

Würfel (Geometrie)

Würfel
120px-Hexahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen Quadrate
Anzahl der Flächen 6
Anzahl der Ecken 8
Anzahl der Kanten 12
Schläfli-Symbol {4,3}
dual zu Oktaeder
Körpernetz Hexahedron flat color.svg
Anzahl verschiedener Netze 11
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 4

Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von altgriechisch κύβος kybos bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped, ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe eines Wertes, Kantenlänge, Seiten- oder Raumdiagonale, Seiten- oder Oberfläche oder Volumen, festgelegt.

Inhaltsverzeichnis

Symmetrie


Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

und ist

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als O_h, in der Notation von Hermann / Mauguin als 4/m\ {\bar {3}}\ 2/m oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern


Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Formeln


Größen eines Würfels mit Kantenlänge a
Volumen \,V=a^{3}
Mantelfläche {\displaystyle A_{\mathrm {M} }=4\,a^{2}}
Oberflächeninhalt {\displaystyle A_{\mathrm {O} }=6\,a^{2}}
Umkugelradius R={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}
Kantenkugelradius r={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}
Inkugelradius \rho ={\frac {a}{2}}
Raumdiagonale d=a{\sqrt {3}}=2R
Flächendiagonale {\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
{\displaystyle {\frac {V}{V_{\text{UK}}}}={\frac {2}{3\pi }}{\sqrt {3}}}
Flächenwinkel
 = 90°
\cos \,\alpha =0
Flächen-Kanten-Winkel
 = 90°
\cos \,\beta =0
Eckenraumwinkel
 = 0,5 π
\cos \,\Omega =0

Verallgemeinerung


Auch die Analoga des Würfels in beliebiger Dimension n werden als n-dimensionale Würfel (oder Hyperwürfel) bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Würfel hat 2^{{n-k}}{\tbinom {n}{k}} begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

Ein Modell für den n-dimensionalen Würfel ist der Einheitswürfel I^{n} im Vektorraum \mathbb {R} ^{n}. Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge 1 und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im \mathbb {R} ^{n}, die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.

Handwerkliches


Gesteckter Würfel

Aus über hundert Zündhölzern lassen sich rein durch Klemmen und Reibung zusammenhaltende Würfel fertigen.

Drehmaschine

Auf einer Drehbank zur spanabhebenden Metallbearbeitung lässt sich mittels 4-Backen-Futter oder einer schonenden rohrförmigen Halterung auch im 3-Backen-Futter ein Würfel herstellen. Das Drehen einer Kombination von bis zu 4 lose doch unverlierbar innereinander liegenden Würfel ist eine Geschicklichkeitsaufgabe. Dieses Werkstück wird im Englischen als "turners cube" also "Würfel des Drehers" bezeichnet. Die 3 äußeren Würfel haben dabei in jeder Seitenfläche eine große Bohrung, die als Fenster die Sicht auf die oder den innen nächst folgenden erlaubt. Die Größen der 3 inneren Würfel sind abgestuft genau so gestaltet, dass schon die Flächendiagonale nicht durch diese Bohrung des jeweils nächstgrößeren passt. Nötig ist das Hinterschneiden bei der Bearbeitung von jeder Seite der innenliegenden Würfel und das temporäre Fixieren mit Klebstoff oder Wachs, wenn zuletzt die 6. Seiten bearbeitet werden.[1]

Siehe auch


Weblinks


 Commons: Würfel  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise


  1. themetalcutter: Cube in a cube / Turners cube youtube.com, Video (43:07),19. August 2015, abgerufen 17. März 2017.



Kategorien: Platonischer Körper



Quelle: Wikipedia - https://de.wikipedia.org/wiki/Würfel (Geometrie) (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.


Stand der Informationen: 21.10.2019 07:11:22 CEST - Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.