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Volumen




Physikalische Größe
Name Volumen
Rauminhalt
Formelzeichen \({\displaystyle V}\)
Abgeleitet von Länge
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI m3 L3
cgs cm3 L3
Planck Planck-Volumen \({\displaystyle l_{\text{P}}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}}\)

Das Volumen (Pl. Volumen oder Volumina; von lat. volumen „Windung, Krümmung“, aus volvere „wälzen, rollen“), auch: Raum- oder Kubikinhalt,[1] ist der räumliche Inhalt eines geometrischen Körpers. Übliches Formelzeichen ist V.

In der Physik bezeichnet man mit dem Volumen die Ausdehnung (den Platzbedarf) eines Körpers. Die (kohärente) SI-Einheit für das Raummaß ist der Kubikmeter (Einheitenzeichen m3). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die Einheit Liter ist für Gase und Flüssigkeiten gebräuchlich und als 1 dm3 (10×10×10 cm³) definiert.

Technisch muss unterschieden werden:

Inhaltsverzeichnis

Geschichte


Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen schon aus dem frühen Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr. datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

Messmethoden


Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

Volumen-Berechnung


Mathematisch gesehen ist das Volumen (der Rauminhalt) ein Maß für eine messbare Teilmenge[2] des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums. Im Allgemeinen lässt sich das Volumen eines Körpers (Bereich \({\displaystyle B}\) im \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\)) durch ein 3-fach-Integral \({\displaystyle \mathrm {V} =\iiint _{B}\mathrm {d} V}\) beschreiben. Solche Integrale können sehr schwierig oder nur numerisch lösbar sein. Bei vielen einfachen Fällen (Polyeder) lässt sich das Volumen ohne Integrale bestimmen. Bei Rotationskörper und solchen mit stetigen Querschnittsflächen (s. Tabelle) kommt man mit einfachen Integralen aus. Hier die Volumina einiger häufig vorkommender Körper:

Körper Volumen Parameter
Würfel \({\displaystyle V=a^{3}\;}\)
Quader \({\displaystyle V=abc}\)
Prisma

(Grundfläche G)

\({\displaystyle V=Gh}\)
Pyramide

(Grundfläche G)

\({\displaystyle V={\frac {1}{3}}Gh}\)
Kugel \({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}\)
Ellipsoid \({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc}\)
senkrechter Kreiszylinder \({\displaystyle V=\pi r^{2}h}\)
senkrechter Kreiskegel \({\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}\)
Torus \({\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}}\)
Rotationskörper \({\displaystyle V=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x}\)
Körper mit stetiger

Querschnittsfläche \({\displaystyle A(x)}\)
(z. B. Steinmetz-Körper)

\({\displaystyle V=\int _{a}^{b}A(x)\mathrm {d} x}\) Für den Rotationskörper ist

\({\displaystyle A(x)=\pi f(x)^{2}}\)

Verallgemeinerung


Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren, siehe dazu auch Volumenform. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flächeninhalt und Entsprechendes gilt auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Beispielsweise hat ein n-dimensionaler Hyperwürfel mit Kantenlänge \({\displaystyle a}\) ein Volumen von \({\displaystyle a^{n}}\).

Das Volumen einer orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeit ist definiert durch Integration der Volumenform über die Mannigfaltigkeit.

Hohlraum


Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Ein Hohlraum hat ein Volumen, das man als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z. B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (Siehe Porosität).

Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.

Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist dies allerdings prinzipiell nicht möglich.

Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.

Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist die Hohlraumstrahlung.

Beispiele: Hohlraum

Siehe auch


Weblinks


Einzelnachweise


  1. Kubikinhalt. In: Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache. Abgerufen am 6. September 2019
  2. Es gibt auch Teilmengen, für die man kein Volumen bestimmen kann, die also nicht messbar sind. Siehe dazu z. B. Satz von Vitali (Maßtheorie).








Kategorien: Raumgeometrie | Physikalische Größenart








Stand der Informationen: 22.11.2020 09:31:50 CET

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