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Untergruppe

In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe \({\displaystyle (U,\circ )}\) einer Gruppe \({\displaystyle (G,\circ )}\) eine Teilmenge \({\displaystyle U}\) von \({\displaystyle G}\), die bezüglich der Verknüpfung \({\displaystyle \circ }\) selbst wieder eine Gruppe ist. Es gibt die Kurzschreibweise \({\displaystyle U\leq G}\), zu lesen als   "\({\displaystyle U}\) ist Untergruppe von \({\displaystyle G}\)".

Die Gruppe \({\displaystyle (G,\circ )}\) heißt Obergruppe der Untergruppe \({\displaystyle (U,\circ )}\), in Zeichen \({\displaystyle G\geq U}\).

Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Äquivalente Definitionen


Eine nichtleere Teilmenge \({\displaystyle U}\) von \({\displaystyle G}\) bildet genau dann eine Untergruppe \({\displaystyle (U,\circ )}\) von \({\displaystyle (G,\circ )}\),

  1. wenn zu zwei beliebigen Elementen in \({\displaystyle U}\) auch deren Verknüpfung in \({\displaystyle U}\) ist, und mit jedem Element in \({\displaystyle U}\) auch dessen Inverses.
  2. wenn für alle \({\displaystyle a,b\in U\Rightarrow a\circ b^{-1}\in U}\) gilt.
  3. wenn \({\displaystyle a\sim b:\Longleftrightarrow a\circ b^{-1}\in U}\) eine Äquivalenzrelation auf \({\displaystyle G}\) ist.
  4. wenn für alle \({\displaystyle a\in U,b\in G\!\setminus \!U\Rightarrow a\circ b\notin U}\) gilt.
Beweise  

Ist \({\displaystyle U}\) Untergruppe, dann gelten alle 4 Kriterien.

Es gelte Kriterium 1.
Dann enthält \({\displaystyle U}\) das neutrale Element \({\displaystyle e=a\circ a^{-1}}\) von \({\displaystyle G}\), welches sich auch als neutrales Element in \({\displaystyle U}\) erweist.

Es gelte Kriterium 2.
Sei \({\displaystyle b\in U}\). Dann ist mit \({\displaystyle a:=b}\) auch \({\displaystyle b\circ b^{-1}=e\in U}\). Wegen \({\displaystyle e\in U}\) ist auch \({\displaystyle e\circ b^{-1}=b^{-1}\in U}\). Ist schließlich \({\displaystyle a,b\in U}\), dann ist wegen \({\displaystyle b^{-1}\in U}\) auch \({\displaystyle a\circ (b^{-1})^{-1}=a\circ b\in U}\).  ■

Es gelte Kriterium 3.
Die Reflexivität \({\displaystyle a\sim a}\) bedeutet für \({\displaystyle a\in G}\) gemäß Kriterium \({\displaystyle a\circ a^{-1}=e\in U}\).
Setzt man \({\displaystyle b:=e}\), dann folgt aus \({\displaystyle a=a\circ e^{-1}\in U}\) wegen der Symmetrie \({\displaystyle a\sim e\implies e\sim a}\) auch \({\displaystyle e\circ a^{-1}=a^{-1}\in U}\).
Die Transitivität \({\displaystyle (a\sim c)\land (c\sim b)\implies (a\sim b)}\) bedeutet, dass aus \({\displaystyle (a\in U\Longleftrightarrow )\;a\sim e}\) und \({\displaystyle (b\in U\Longleftrightarrow )\;e\sim b}\) am Ende \({\displaystyle a\sim b\;(\Longleftrightarrow a\circ b^{-1}\in U)}\) folgt.  ■

Es gelte Kriterium 4.
Wegen \({\displaystyle U\neq \emptyset }\) gibt es ein \({\displaystyle a\in U}\).
Sei \({\displaystyle V:=G\!\setminus \!U}\).
Wegen \({\displaystyle a=a\circ e\in U}\) kann \({\displaystyle e}\) nicht in \({\displaystyle V}\) sein.
Wegen \({\displaystyle e=a\circ a^{-1}\in U}\) kann \({\displaystyle a^{-1}}\) nicht in \({\displaystyle V}\) sein.
Sei auch \({\displaystyle b\in U}\).
Wegen \({\displaystyle a^{-1}\in U}\) und \({\displaystyle b=a^{-1}\circ (a\circ b)\in U}\) kann \({\displaystyle a\circ b}\) nicht in \({\displaystyle V}\) sein.  ■

Die Bezugnahme auf Elemente außerhalb von \({\displaystyle U}\) in den Kriterien 3 und 4 ist eine scheinbare. Kriterium 3 ist \({\displaystyle U=\{a\in G\mid a\sim e\}}\). Und der gegebene Beweis zu Kriterium 4 basiert darauf, dass der rechte Faktor nicht \({\displaystyle \notin U}\) sein kann, wenn das Produkt \({\displaystyle \in U}\) ist. Insofern bleiben alle relevanten Verknüpfungen innerhalb \({\displaystyle U}\). Die Kriterien 3 und 4 sind auch völlig unabhängig von der Größe von \({\displaystyle G}\). So betrachtet sind sie besondere Formulierungen der Transitivität der Untergruppenrelation \({\displaystyle \leq }\) (s. den § #Eigenschaften).

Je nach Art der Verknüpfung können verschiedene Kriterien zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft von Vorteil sein. Das vierte Kriterium ist ohne Inversenbildung formuliert und kann daher ggf. in Fällen angewendet werden, bei denen die Inversenbildung Schwierigkeiten macht.

Beispiele


Spezielle Untergruppen


Eigenschaften


Das neutrale Element einer Gruppe ist das neutrale Element jeder Untergruppe und somit ist es insbesondere in jeder Untergruppe enthalten.

Der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen einer Gruppe \({\displaystyle G}\) ist eine Untergruppe von \({\displaystyle G}\).

Die Untergruppenrelation ist transitiv. Das heißt, wenn \({\displaystyle A}\) Untergruppe einer Gruppe \({\displaystyle B}\) ist, die ihrerseits Untergruppe von \({\displaystyle C}\) ist, dann ist \({\displaystyle A}\) auch Untergruppe von \({\displaystyle C}\). Kurz gilt also

\({\displaystyle A\leq B,B\leq C\Rightarrow A\leq C}\)

Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe \({\displaystyle U}\) einer endlichen Gruppe \({\displaystyle G}\) die Ordnung der Gruppe \({\displaystyle G}\) teilt. Ist beispielsweise \({\displaystyle |G|}\) eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe \({\displaystyle U}\) nur 1 oder \({\displaystyle |G|}\) betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von \({\displaystyle G}\). Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten Ordnung erhält man aus den Sylow-Sätzen. Ist \({\displaystyle p}\) eine Primzahl und \({\displaystyle p^{n}}\) ein Teiler der Gruppenordnung, so gibt es Untergruppen der Ordnung \({\displaystyle p^{k},0\leq k\leq n}\). Die 12-elementige alternierende Gruppe A4 hat keine Untergruppe der Ordnung 6.

Erzeugte Untergruppen


Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge \({\displaystyle E\subseteq G}\) einer Gruppe \({\displaystyle (G,\circ )}\) eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von \({\displaystyle G}\), die \({\displaystyle E}\) enthält. Diese Untergruppe wird mit \({\displaystyle \langle E\rangle }\) bezeichnet und die von \({\displaystyle E}\) erzeugte Untergruppe \({\displaystyle \langle E\rangle }\) von \({\displaystyle G}\) genannt. Abstrakt definiert man also

\({\displaystyle \langle E\rangle :=\bigcap _{E\subseteq U\leq G}U}\)

Man kann zeigen, dass die Elemente von \({\displaystyle \langle E\rangle }\) genau die Elemente von \({\displaystyle G}\) sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen \({\displaystyle a_{i}\in E\cup E^{-1}}\) erhält. Hierbei bezeichnet \({\displaystyle E^{-1}}\) die Menge der Inversen der Elemente von \({\displaystyle E}\). Es gilt also:

\({\displaystyle \langle E\rangle =\{a_{1}\circ a_{2}\circ ...\circ a_{n}|a_{1},\dotsc ,a_{n}\in E\cup E^{-1},n\in \mathbb {N} \}}\)

Gilt für eine Untergruppe \({\displaystyle U}\), dass \({\displaystyle U=\langle E\rangle }\), so heißt \({\displaystyle E}\) ein Erzeugendensystem von \({\displaystyle U}\). Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.

Eine Untergruppe \({\displaystyle U}\), welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe bezeichnet. Besitzt \({\displaystyle U}\) ein Erzeugendensystem aus einem Element \({\displaystyle g}\), so heißt \({\displaystyle U}\) zyklisch und man schreibt \({\displaystyle U=\langle g\rangle :=\langle \{g\}\rangle }\). Will man \({\displaystyle \langle g\rangle }\) explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:

\({\displaystyle \langle g\rangle :=\{g^{z}|z\in \mathbb {Z} \}}\),

Die Gruppenordnung \({\displaystyle |\langle g\rangle |}\) heißt die Ordnung des erzeugenden Elements \({\displaystyle g}\).

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe \({\displaystyle G}\) bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen \({\displaystyle \{e\}}\) und \({\displaystyle G}\) entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes. Dabei sind die Verbandsoperationen

\({\displaystyle U\land V=U\cap V}\) (Durchschnitt),
\({\displaystyle U\lor V=\langle U\cup V\rangle }\) (von der Vereinigung erzeugte Untergruppe).

Siehe auch


Literatur


Weblinks


Wiktionary: Untergruppe – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen



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Stand der Informationen: 01.03.2020 02:55:41 CET - Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
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