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Tensor




Ein Tensor ist eine mathematische Funktion, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Zahlenwert abbildet. Er ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra, das besonders im Bereich der Differentialgeometrie Anwendung findet. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert.

In der Differentialgeometrie und den physikalischen Disziplinen werden meist keine Tensoren im Sinn der linearen Algebra betrachtet, sondern es werden Tensorfelder behandelt, die oft vereinfachend ebenfalls als Tensoren bezeichnet werden. Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums einen Tensor zuordnet. Viele physikalische Feldtheorien handeln von Tensorfeldern. Das prominenteste Beispiel ist die allgemeine Relativitätstheorie. Das mathematische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Tensorfeldern befasst, heißt Tensoranalysis und ist ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen.

Inhaltsverzeichnis

Begriffsgeschichte


Das Wort Tensor (abgeleitet vom Partizip Perfekt von lateinisch tendere ‚spannen‘) wurde in den 1840er Jahren von William Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also keinen Tensor im modernen Sinn. James Clerk Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.

In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten;[1] einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Albert Einstein die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die einsteinsche Summenkonvention ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.

Arten von Tensoren


Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man Skalare als Tensoren vom Typ \({\displaystyle (0,0)}\), Spaltenvektoren als Tensoren vom Typ \({\displaystyle (1,0)}\) und Kovektoren (bzw. Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ \({\displaystyle (0,1)}\). Tensoren höherer Stufe definiert man als multilineare Abbildungen mit Tensoren geringerer Stufe als Argumente und Abbildungswerte. So kann etwa ein Tensor vom Typ \({\displaystyle (1,1)}\) als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als bilineare Abbildung mit einem Vektor und einem Kovektor als Argumente aufgefasst werden.

Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer zur Beschreibung des Spannungszustandes eines Körpers aus. Als Tensor vom Typ \({\displaystyle (0,2)}\) aufgefasst ist er eine lineare Abbildung, die einem Flächenelement (als Vektor) die darauf wirkende Kraft (als Kovektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung, die einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die bei der Verschiebung des Flächenstücks unter dem Einfluss der wirkenden Spannung verrichtet wird.

Bezüglich einer fest gewählten Vektorraumbasis erhält man die folgenden Darstellungen der verschiedenen Typen von Tensoren:

Die Anwendung des Spannungstensors auf ein Flächenelement ist dann z. B. durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben. Die Koordinaten von Tensoren höherer Stufe können entsprechend in ein höherdimensionales Schema angeordnet werden. So können diese Komponenten eines Tensors anders als die eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als ein oder zwei Indizes haben. Ein Beispiel für einen Tensor dritter Stufe, der drei Vektoren des \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\) als Argumente hat, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funktion der Spalten dieser Matrix. Bezüglich einer Orthonormalbasis wird er durch das Levi-Civita-Symbol \({\displaystyle \varepsilon _{ijk}}\) repräsentiert.

Ko- und Kontravarianz von Vektoren


Die Begriffe ko- und kontravariant beziehen sich auf die Koordinatendarstellungen von Vektoren, Linearformen und werden auch wie später im Artikel beschrieben auf Tensoren angewandt. Sie beschreiben, wie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich eines Basiswechsels im zugrundeliegenden Vektorraum verhalten.

Legt man in einem \({\displaystyle n}\)-dimensionalen Vektorraum \({\displaystyle V}\) eine Basis \({\displaystyle (e_{1},\dotsc ,e_{n})}\) fest, so kann jeder Vektor \({\displaystyle v\in V}\) dieses Raumes durch ein Zahlentupel \({\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})}\) – seine Koordinaten – mittels \({\displaystyle \textstyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}}\) dargestellt werden. Geht man zu einer anderen Basis von \({\displaystyle V}\) über, so ändert sich der Vektor selbst nicht, aber die Koordinaten bezüglich der neuen Basis werden andere sein. Ist also die neue Basis durch \({\displaystyle \textstyle e'_{j}=\sum _{k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}}\) in der alten Basis bestimmt, so ergeben sich die neuen Koordinaten durch Vergleich in

\({\displaystyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}=\sum _{j}e'_{j}\,x'^{j}=\sum _{j,k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}\,x'^{j},}\)

also \({\displaystyle \textstyle x^{k}=\sum _{j}A^{k}{}_{j}\,x'^{j}}\) oder

\({\displaystyle x'\,^{j}=\sum _{k}(A^{-1})^{j}{}_{k}\,x^{k}}\).

Dreht man zum Beispiel eine orthogonale Basis in einem dreidimensionalen euklidischen Raum \({\displaystyle V}\) um \({\displaystyle 30^{\circ }}\) um die \({\displaystyle z}\)-Achse, so drehen sich die Koordinatenvektoren im Koordinatenraum \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\) ebenfalls um die \({\displaystyle z}\)-Achse, aber in der entgegengesetzten Richtung um \({\displaystyle -30^{\circ }}\). Dieses der Basistransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten nennt man kontravariant. Oft werden Vektoren zur Abkürzung der Notation mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, sodass Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet werden.

Eine Linearform oder ein Kovektor \({\displaystyle \alpha \in V^{*}}\) ist dagegen eine skalarwertige lineare Abbildung \({\displaystyle \alpha \colon V\to \mathbb {K} }\) auf dem Vektorraum. Man kann ihr als Koordinaten ihre Werte auf den Basisvektoren, \({\displaystyle \alpha _{k}=\alpha (e_{k})}\), zuordnen. Die Koordinatenvektoren einer Linearform transformieren sich wie das Basistupel als

\({\displaystyle \alpha '_{j}=\alpha (e'_{j})=\sum _{k}\alpha (e_{k}\,A^{k}{}_{j})=\sum _{k}\alpha _{k}\,A^{k}{}_{j},}\)

weshalb man dieses Transformationsverhalten kovariant nennt. Identifiziert man wieder Linearformen mit ihren Koordinatenvektoren, so bezeichnet man auch allgemein Linearformen als kovariant. Hierbei geht, wie bei Vektoren, die zugrundeliegende Basis aus dem Kontext hervor. Man spricht in diesem Kontext auch von Dualvektoren.

Diese Bezeichnungen werden auf Tensoren übertragen. Dies wird im nächsten Abschnitt zur Definition der \({\displaystyle (r,s)}\)-Tensoren erklärt.

Definition


(r,s)-Tensorraum

Im Folgenden sind alle Vektorräume endlichdimensional. Mit \({\displaystyle L(E;K)}\) bezeichne man die Menge aller Linearformen aus dem \({\displaystyle K}\)-Vektorraum \({\displaystyle E}\) in den Körper \({\displaystyle K}\). Sind \({\displaystyle E_{1},\dotsc ,E_{k}}\) Vektorräume über \({\displaystyle K}\), so werde der Vektorraum der Multilinearformen \({\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to K}\) mit \({\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)}\) bezeichnet.

Ist \({\displaystyle E}\) ein \({\displaystyle K}\)-Vektorraum, so wird mit \({\displaystyle E^{*}}\) sein Dualraum bezeichnet. Dann ist \({\displaystyle L^{k}(E_{1}^{*},E_{2}^{*},\dotsc ,E_{k}^{*};K)}\) isomorph zum Tensorprodukt

\({\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsb \otimes E_{k}}\) (vergleiche hierzu den Abschnitt Tensorprodukte und Multilinearformen).

Setze nun für einen fixierten Vektorraum \({\displaystyle E}\) mit Dualraum \({\displaystyle E^{*}}\)

\({\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)=L^{r+s}(E^{*},\dotsc ,E^{*},E,\dotsc ,E;K)}\)

mit \({\displaystyle r}\) Einträgen von \({\displaystyle E^{*}}\) und \({\displaystyle s}\) Einträgen von \({\displaystyle E}\). Dieser Vektorraum realisiert das Tensorprodukt

\({\displaystyle \underbrace {E\otimes \dotsb \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsb \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}}\)

Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe \({\displaystyle r}\) und kovariant der Stufe \({\displaystyle s}\). Kurz spricht man von Tensoren vom Typ \({\displaystyle (r,s)}\). Die Summe \({\displaystyle r+s}\) heißt Stufe oder Rang des Tensors.[2][3]

Es gibt natürliche Isomorphismen der folgenden Art:

\({\displaystyle {\begin{aligned}&L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)\\\cong &L^{m}(E_{1},\dotsc ,E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\\\cong &L(E_{1}\otimes \dotsb \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\end{aligned}}}\)

Das heißt, man kann Tensoren der Stufe \({\displaystyle r+s>2}\) auch induktiv als multilineare Abbildungen zwischen Tensorräumen geringerer Stufe definieren. Dabei hat man für einen Tensor eines bestimmten Typs mehrere äquivalente Möglichkeiten.

In der Physik sind die Vektorräume in der Regel nicht identisch, z. B. kann man einen Geschwindigkeitsvektor und einen Kraftvektor nicht addieren. Man kann jedoch die Richtungen miteinander vergleichen, d. h., die Vektorräume bis auf einen skalaren Faktor miteinander identifizieren. Daher kann die Definition von Tensoren des Typs \({\displaystyle (r,s)}\) entsprechend angewendet werden. Es sei außerdem erwähnt, dass (dimensionsbehaftete) Skalare in der Physik Elemente aus eindimensionalen Vektorräumen sind und dass Vektorräume mit Skalarprodukt mit ihrem Dualraum identifiziert werden können. Man arbeitet z. B. mit Kraftvektoren, obwohl Kräfte ohne die Verwendung des Skalarprodukts als Kovektoren anzusehen sind.

Äußeres Tensorprodukt

Als (äußeres) Tensorprodukt oder Tensormultiplikation bezeichnet man eine Verknüpfung \({\displaystyle \otimes }\) zwischen zwei Tensoren. Sei \({\displaystyle E}\) ein Vektorraum und seien \({\displaystyle t_{1}\in T_{s_{1}}^{r_{1}}(E)}\) und \({\displaystyle t_{2}\in T_{s_{2}}^{r_{2}}(E)}\) Tensoren. Das (äußere) Tensorprodukt von \({\displaystyle t_{1}}\) und \({\displaystyle t_{2}}\) ist der Tensor \({\displaystyle t_{1}\otimes t_{2}\in T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(E)}\), der durch

\({\displaystyle \left(t_{1}\otimes t_{2})(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}}\right):=t_{1}(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}})t_{2}(\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}})}\)

definiert ist. Hierbei sind die \({\displaystyle \beta ^{j},\gamma ^{j}\in E^{*}}\) und die \({\displaystyle f_{j},g_{j}\in E}\).

Beispiele von (r,s)-Tensoren


Im Folgenden seien \({\displaystyle E}\) und \({\displaystyle F}\) endlichdimensionale Vektorräume.

\({\displaystyle \delta (e_{i},e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{falls }}i=j,\\0,&{\mbox{falls }}i\neq j,\end{matrix}}\right.}\)
bestimmt.
\({\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j}g_{ij}v^{i}w^{j}.}\)
Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Tensoren lässt sich mittels der Metrik durch
\({\displaystyle x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}}\)
bewerkstelligen.
In der Differentialgeometrie auf riemannschen Mannigfaltigkeiten ist diese Metrik zusätzlich eine Funktion des Ortes. Eine tensorwertige Funktion des Ortes wird Tensorfeld genannt, im Fall des metrischen Tensors speziell riemannsche Metrik.

Basis


Basis und Dimension

Sei \({\displaystyle E}\) wie oben ein Vektorraum, dann sind die Räume \({\displaystyle T_{s}^{r}(E)}\) ebenfalls Vektorräume. Weiterhin sei \({\displaystyle E}\) nun endlichdimensional mit der Basis \({\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}\). Die duale Basis wird mit \({\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}\) bezeichnet. Der Raum \({\displaystyle T_{s}^{r}(E)}\) der Tensoren ist dann ebenfalls endlichdimensional und

\({\displaystyle \left\{\left.e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}\right|i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n\right\}}\)

ist eine Basis dieses Raumes. Das heißt, jedes Element \({\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}\) kann durch

\({\displaystyle \sum _{i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n}a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}}\)

dargestellt werden. Die Dimension dieses Vektorraums ist \({\displaystyle T_{s}^{r}(E)=n^{r+s}}\). Wie in jedem endlichdimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis operiert.

Da die obige Summendarstellung sehr viel Schreibarbeit mit sich bringt, wird oft die einsteinsche Summenkonvention verwendet. In diesem Fall schreibt man also

\({\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}.}\)

Die Koeffizienten \({\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}}\) werden Komponenten des Tensors bezüglich der Basis \({\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}\) genannt. Oft identifiziert man die Komponenten des Tensors mit dem Tensor an sich. Siehe dafür unter Tensordarstellungen der Physik nach.

Basiswechsel und Koordinatentransformation

Seien \({\displaystyle {e'_{i_{1}},\dotsc ,e'_{i_{n}}}}\) und \({\displaystyle {e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}}}\) jeweils unterschiedliche Basen der Vektorräume \({\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{n}}\). Jeder Vektor, also auch jeder Basisvektor \({\displaystyle {e_{i_{l}}}}\) kann als Linearkombination der Basisvektoren \({\displaystyle {e'_{i_{l}}}}\) dargestellt werden. Der Basisvektor \({\displaystyle e_{i_{l}}}\) werde dargestellt durch

\({\displaystyle e_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e'_{j_{l}}.}\)

Die Größen \({\displaystyle a_{j_{l},i_{l}}}\) bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen \({\displaystyle e'_{i_{l}}}\) und \({\displaystyle e_{i_{l}}}\). Das gilt für alle \({\displaystyle l=1,\dotsc ,n}\). Dieses Verfahren wird Basiswechsel genannt.

Ferner seien \({\displaystyle T_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}\) die Komponenten des Tensors \({\displaystyle T}\) bezüglich der Basis \({\displaystyle e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}}\). Dann ergibt sich für das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten die Gleichung

\({\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}=\sum _{j_{1}}\dots \sum _{j_{n}}a_{i_{1},j_{1}}\dots a_{i_{n},j_{n}}T_{{j_{1}},\dotsc ,{j_{n}}}.}\)

Es wird in der Regel zwischen der Koordinatendarstellung des Tensors \({\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}\) und der Transformationsmatrix \({\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}\) unterschieden. Die Transformationsmatrix \({\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}\) ist zwar eine indizierte Größe, aber kein Tensor. Im euklidischen Raum sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z. B. Lorentz-Transformationen, die sich auch als „Drehungen“ in einem vierdimensionalen Minkowskiraum auffassen lassen. Man spricht in diesem Fall auch von Vierertensoren und Vierervektoren.

Beispiel

Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor bezüglich einer Basis dargestellt werden. Beispielsweise kann ein Tensor \({\displaystyle T}\) mit Rang 2 in einem gegebenen Basissystem \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) wie folgt als Matrix dargestellt werden:

\({\displaystyle T=_{\mathcal {B}}{\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\,.\end{pmatrix}}}\)

Dadurch lässt sich der Wert \({\displaystyle T(v,w)}\) im Rahmen des entsprechenden Basissystems mit Hilfe der Matrixmultiplikation berechnen:

\({\displaystyle T(v,w)={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}}\)

Betrachtet man nun konkret den Trägheitstensor \({\displaystyle I}\), so kann mit ihm bezüglich eines gewählten Koordinatensystems die Rotationsenergie \({\displaystyle E_{\mathrm {rot} }}\) eines starren Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit \({\displaystyle {\vec {\omega }}}\) wie folgt berechnet werden:

\({\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\omega _{\alpha }I_{\beta }^{\alpha }\omega ^{\beta }={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}\)

Operationen auf Tensoren


Neben dem Tensorprodukt gibt es für (r,s)-Tensoren weitere wichtige Operationen.

Inneres Produkt

Das innere Produkt eines Vektors \({\displaystyle v\in E}\) (bzw. eines (Ko-)Vektors \({\displaystyle \beta \in E^{*}}\)) mit einem Tensor \({\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E;K)}\) ist der \({\displaystyle (r,s-1)}\) (bzw. \({\displaystyle (r-1,s)}\))-Tensor, der durch

\({\displaystyle (i_{v}t)\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},\cdot ,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)=t\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},v,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)}\)

bzw. durch

\({\displaystyle (i^{\beta }t)\left(\cdot ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)=t\left(\beta ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)}\)

definiert ist. Dies bedeutet, dass der \({\displaystyle (r,s)}\)-Tensor \({\displaystyle t}\) an einem festen Vektor \({\displaystyle v}\) bzw. festen Kovektor \({\displaystyle \beta }\) ausgewertet wird.

Tensorverjüngung

Gegeben sei ein (r,s)-Tensor sowie \({\displaystyle 1\leq k\leq r}\) und \({\displaystyle 1\leq l\leq s}\). Die Tensorverjüngung \({\displaystyle C_{l}^{k}}\) bildet den Tensor

\({\displaystyle \sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}}\)

auf den Tensor

\({\displaystyle {\begin{aligned}&C_{l}^{k}\left(\sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}\right)\\=&\sum \beta _{i_{k}}(v^{j_{l}})\cdot (\beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k-1}}\otimes \beta _{i_{k+1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}})\end{aligned}}}\)

ab. Dieser Vorgang heißt Tensorverjüngung oder Spurbildung. Im Fall von (1,1)-Tensoren entspricht die Tensorverjüngung

\({\displaystyle C_{1}^{1}\colon V^{*}\otimes V\to K}\)

unter der Identifizierung \({\displaystyle V^{*}\otimes V\cong \mathrm {End} (V)}\) der Spur eines Endomorphismus.

Mit Hilfe der einsteinschen Summenkonvention kann man die Tensorverjüngung sehr kurz darstellen. Seien beispielsweise \({\displaystyle T_{i}^{j}}\) die Koeffizienten (bzw. Koordinaten) des zweistufigen Tensors \({\displaystyle T}\) bezüglich einer gewählten Basis. Will man diesen (1,1)-Tensor verjüngen, so schreibt man oft anstatt \({\displaystyle C_{1}^{1}(T)}\) nur die Koeffizienten \({\displaystyle T_{i}^{i}}\). Die einsteinsche Summenkonvention besagt nun, dass über alle gleichen Indizes summiert wird und somit \({\displaystyle T_{i}^{i}}\) ein Skalar ist, der mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt. Der Ausdruck \({\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{i}}\) ist hingegen nicht definiert, weil nur über gleiche Indizes summiert wird, wenn einer oben und einer unten steht. Hingegen ist also \({\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{j}}\) ein Tensor erster Stufe.

Pull-Back (Rücktransport)

Sei \({\displaystyle \phi \in L(E,F)}\) eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, die kein Isomorphismus zu sein braucht. Der Rücktransport von \({\displaystyle \phi }\) sei eine Abbildung \({\displaystyle \phi ^{*}\in L(T_{s}^{0}(F),T_{s}^{0}(E))}\), die durch

\({\displaystyle \phi ^{*}t(f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi (f_{1}),\dotsc ,\phi (f_{s}))}\)

definiert ist. Dabei ist \({\displaystyle t\in T_{s}^{0}(F)}\) und \({\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in E}\).

Push-Forward

Sei \({\displaystyle \phi \colon E\to F}\) ein Vektorraumisomorphismus. Definiere den Push-Forward von \({\displaystyle \phi }\) durch \({\displaystyle \phi _{*}\in L(T_{s}^{r}(E),T_{s}^{r}(F))}\) mit

\({\displaystyle \phi _{*}t(\beta ^{1}\dotsc ,\beta ^{r},f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi ^{*}(\beta ^{1}),\dotsc ,\phi ^{*}(\beta ^{r}),\phi ^{-1}(f_{1}),\dotsc ,\phi ^{-1}(f_{s})).}\)

Dabei ist \({\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}\), \({\displaystyle \beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r}\in F^{*}}\) und \({\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in F}\). Mit \({\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i})}\) wird der Rücktransport der Linearform \({\displaystyle \beta ^{i}}\) notiert. Konkret heißt dies \({\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i}(.))=\beta ^{i}(\phi (.))}\). Analog zum Rücktransport kann man beim Push-Forward auf die Isomorphie von \({\displaystyle \phi }\) verzichten und diese Operation nur für \({\displaystyle (r,0)}\)-Tensoren definieren.

Tensoralgebra


Sei \({\displaystyle E}\) ein Vektorraum über einem Körper \({\displaystyle K}\). Dann ist durch

\({\displaystyle \mathrm {T} (E)=\bigoplus _{n\geq 0}E^{\otimes n}=K\oplus E\oplus (E\otimes E)\oplus (E\otimes E\otimes E)\oplus \dotsb }\)

die sogenannte Tensoralgebra definiert. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird \({\displaystyle \mathrm {T} (E)}\) zu einer unitären assoziativen Algebra.

Tensorproduktraum


In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert. Diese werden typischerweise in der Algebra betrachtet. Diese Definition ist allgemeiner als die der (r,s)-Tensoren, da hier die Tensorräume aus unterschiedlichen Vektorräumen konstruiert werden können.

Die universelle Eigenschaft

Es seien \({\displaystyle V}\) und \({\displaystyle W}\) Vektorräume über dem Körper \({\displaystyle K}\). Sind \({\displaystyle X,Y}\) weitere \({\displaystyle K}\)-Vektorräume, \({\displaystyle b\colon V\times W\to X}\) eine beliebige bilineare Abbildung und \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) eine lineare Abbildung, dann ist auch die Verknüpfung \({\displaystyle (f\circ b)\colon V\times W\to Y}\) eine bilineare Abbildung. Ist also eine bilineare Abbildung gegeben, so kann man daraus auch beliebig viele weitere bilineare Abbildungen konstruieren. Die Frage, die sich ergibt, ist, ob es eine bilineare Abbildung gibt, aus der auf diese Art, durch Verknüpfung mit linearen Abbildungen, alle bilinearen Abbildungen auf \({\displaystyle V\times W}\) (auf eindeutige Weise) konstruiert werden können. Ein solches universelles Objekt, d. h. die bilineare Abbildung samt ihrem Bildraum, wird als Tensorprodukt von \({\displaystyle V}\) und \({\displaystyle W}\) bezeichnet.

Definition: Als Tensorprodukt der Vektorräume \({\displaystyle V}\) und \({\displaystyle W}\), wird jeder \({\displaystyle K}\)-Vektorraum \({\displaystyle X}\) bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung \({\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}\) gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Zu jeder bilinearen Abbildung \({\displaystyle b\colon V\times W\to Y}\) von \({\displaystyle V\times W}\) in einen Vektorraum \({\displaystyle Y}\) existiert genau eine lineare Abbildung \({\displaystyle b'\colon X\to Y}\), sodass für alle \({\displaystyle (v,w)\in V\times W}\) gilt
\({\displaystyle b(v,w)=b'(\phi (v,w)).}\)

Gibt es einen solchen Vektorraum \({\displaystyle X}\), so ist er bis auf Isomorphie eindeutig. Man schreibt \({\displaystyle X=V\otimes W}\) und \({\displaystyle \phi (v,w)=v\otimes w}\). Die universelle Eigenschaft kann also als \({\displaystyle b(v,w)=b'(v\otimes w)}\) geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel Tensorprodukt verwiesen.

Tensor als Element des Tensorproduktes

In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.

Es sei \({\displaystyle K}\) ein Körper und es seien \({\displaystyle V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{s}}\) Vektorräume über dem Körper \({\displaystyle K}\).

Das Tensorprodukt \({\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}\) von \({\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}\) ist ein \({\displaystyle K}\)-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form

\({\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s},\quad v_{i}\in V_{i},}\)

sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:

Die Tensoren der Form \({\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}}\) heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Ist \({\displaystyle \{e_{i}^{(1)},\dotsc ,e_{i}^{(d_{i})}\}}\) eine Basis von \({\displaystyle V_{i}}\) (für \({\displaystyle i=1,\dotsc ,s}\); \({\displaystyle d_{i}=\dim V_{i}}\)), so ist

\({\displaystyle \{e_{1}^{(j_{1})}\otimes \dotsb \otimes e_{s}^{(j_{s})}\mid 1\leq i\leq s,1\leq j_{i}\leq d_{i}\}}\)

eine Basis von \({\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}.}\) Die Dimension von \({\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}\) ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume \({\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}.}\)

Tensorprodukte und Multilinearformen

Der Dualraum von \({\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}\) kann mit dem Raum der \({\displaystyle s}\)-Multilinearformen

\({\displaystyle V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to K}\)

identifiziert werden:

\({\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}).}\)
\({\displaystyle \sum _{j=1}^{k}v_{1}^{(j)}\otimes \dotsb \otimes v_{s}^{(j)}\mapsto \sum _{j=1}^{k}\mu (v_{1}^{(j)},\dotsc ,v_{s}^{(j)}).}\)

Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man

\({\displaystyle (V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s})^{*}\quad \mathrm {und} \quad V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}\)

miteinander identifizieren, d. h., Elemente von \({\displaystyle V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}\) entsprechen \({\displaystyle s}\)-Multilinearformen auf \({\displaystyle V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}\)

Invarianten von Tensoren 1. und 2. Stufe

Als Invarianten eines ein- oder zweistufigen Tensors bezeichnet man Skalare, die sich unter orthogonalen Koordinatentransformationen des Tensors nicht ändern. Für Tensoren erster Stufe führt die Bildung der vom Skalarprodukt induzierten Norm zu einer Invarianten

\({\displaystyle I_{1}=x^{j}x_{j}=x'^{j}x'_{j}}\),

wobei hier und im Folgenden wieder die einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Für Tensoren zweiter Stufe im dreidimensionalen euklidischen Raum lassen sich im Allgemeinen sechs irreduzible Invarianten (das heißt Invarianten, die nicht durch andere Invarianten ausgedrückt werden können) finden:

\({\displaystyle {\begin{alignedat}{2}I_{1}&=A_{ii}&&=\mathrm {Spur} \left(A\right)\;,\\I_{2}&=A_{ij}A_{ji}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\right)\;,\\I_{3}&=A_{ij}A_{ij}&&=\mathrm {Spur} \left(AA^{T}\right)\;,\\I_{4}&=A_{ij}A_{jk}A_{ki}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{3}\right)\;,\\I_{5}&=A_{ij}A_{jk}A_{ik}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}A^{T}\right)\;,\\I_{6}&=A_{ij}A_{jk}A_{lk}A_{il}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\left(A^{2}\right)^{T}\right)\;.\end{alignedat}}}\)

Im Falle von symmetrischen Tensoren 2. Stufe (z. B. dem Verzerrungstensor) fallen die Invarianten \({\displaystyle I_{2}=I_{3}}\) und \({\displaystyle I_{4}=I_{5}}\) zusammen. Außerdem lässt sich \({\displaystyle I_{6}}\) über die anderen 3 Invarianten darstellen (ist also nicht mehr irreduzibel). Die Determinante ist auch eine Invariante, sie lässt sich beispielsweise für \({\displaystyle 3\times 3}\)-Matrizen über die irreduziblen Invarianten \({\displaystyle I_{1}}\), \({\displaystyle I_{2}}\) und \({\displaystyle I_{4}}\) darstellen als[4]

\({\displaystyle \mathrm {Det} (A)={\frac {1}{6}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}I_{1}I_{2}+{\frac {1}{3}}I_{4}.}\)

Für antisymmetrische Tensoren gilt \({\displaystyle I_{1}=0}\), \({\displaystyle I_{2}=-I_{3}}\), \({\displaystyle I_{4}=-I_{5}=0}\) und \({\displaystyle I_{6}}\) lässt sich wieder auf \({\displaystyle I_{2}}\) zurückführen.[5] Somit haben im dreidimensionalen euklidischen Raum symmetrische Tensoren 2. Stufe drei irreduzible Invarianten und antisymmetrische Tensoren 2. Stufe eine irreduzible Invariante.

Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie

Man kann das Tensorprodukt \({\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V}\) eines Vektorraumes \({\displaystyle V}\) mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten \({\displaystyle a\otimes b}\) die Faktoren zu vertauschen:

\({\displaystyle \Pi _{12}(a\otimes b):=b\otimes a}\)

Da das Quadrat dieser Abbildung die Identität ist, folgt, dass für die Eigenwerte nur die Werte \({\displaystyle \pm 1}\) in Frage kommen.

\({\displaystyle w=a\odot b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b+b\otimes a)}\).
Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit \({\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{12})(V\otimes V)}\) bezeichnet.
\({\displaystyle w=a\wedge b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b-b\otimes a)}\).
Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit \({\displaystyle \Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12})(V\otimes V)}\) bezeichnet.

Mittels \({\displaystyle {\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V}\) können Tensorpotenzen von \({\displaystyle V}\) beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen \({\displaystyle j}\) und \({\displaystyle k}\) auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen:

\({\displaystyle \Pi _{jk}=\Pi _{1j}\circ \Pi _{1k}\circ \Pi _{1j}}\)

Injektives und projektives Tensorprodukt

Falls die Vektorräume, die man miteinander tensorieren will, eine Topologie besitzen, so ist es wünschenswert, dass ihr Tensorprodukt ebenfalls eine Topologie besitzt. Es gibt natürlich viele Möglichkeiten, eine solche Topologie zu definieren. Das injektive beziehungsweise das projektive Tensorprodukt sind dafür jedoch eine natürliche Wahl.

Tensoranalysis


Ursprünglich wurde der Tensorkalkül nicht in dem modernen hier vorgestellten algebraischen Konzept untersucht. Der Tensorkalkül entstand aus Überlegungen zur Differentialgeometrie. Insbesondere Gregorio Ricci-Curbastro und sein Schüler Tullio Levi-Civita haben ihn entwickelt. Man nennt den Tensorkalkül daher auch Ricci-Kalkül. Albert Einstein griff diesen Kalkül in seiner Relativitätstheorie auf, was ihm große Bekanntheit in der Fachwelt einbrachte. Die damaligen Tensoren werden heute als Tensorfelder bezeichnet und spielen in der Differentialgeometrie auch heute noch eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu Tensoren sind Tensorfelder differenzierbare Abbildungen, die jedem Punkt des zugrundeliegenden (oft gekrümmten) Raums einen Tensor zuordnen.

Siehe auch


Literatur


Weblinks


Einzelnachweise


  1. M. M. G. Ricci, T. Levi-Civita: Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications. In: Mathematische Annalen. 54, 1901, ISSN 0025-5831 , S. 125–201, online.
  2. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 172–179.
  3. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7 S. 338–339.
  4. Kerstin Weinberg: Vorlesungsskript. Tensoralgebra und -Analysis. (PDF; 235 kB) Universität Siegen, 24. Oktober 2012, abgerufen am 19. Juli 2013.
  5. Heinz Schade, Klaus Neemann: Tensoranalysis. 2. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2006, ISBN 3-11-018943-7, S. 277 ff.








Kategorien: Algebra | Differentialgeometrie








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