Sehnenviereck


Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck; es ist notwendigerweise konvex.

Das gleichschenklige Trapez und das Rechteck sind besondere Sehnenvierecke.

Inhaltsverzeichnis

Sätze


Für jedes Sehnenviereck gilt der Sehnensatz:

Die folgenden Sätze gelten nur für nicht überschlagene Sehnenvierecke ABCD:

Eigenschaften


Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel 180°.

\({\displaystyle \alpha +\gamma =180^{\circ }}\)
\({\displaystyle \beta +\delta =180^{\circ }}\)

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu 360° ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu 360°/2 = 180° ergänzen.

Ein anderer Beweis findet sich im Beweisarchiv.

Die Umkehrung dieser Aussage stimmt auch, d. h. ist in einem Viereck die Summe gegenüberliegender Winkel 180°, dann ist es ein Sehnenviereck.

Formeln


Mathematische Formeln zum Sehnenviereck
Flächeninhalt \({\displaystyle A={\sqrt {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)}}}\) mit \({\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}\)
\({\displaystyle A={\frac {e\cdot (a\cdot b+c\cdot d)}{4\cdot R}}={\frac {f\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}{4\cdot R}}}\)
Länge der Diagonalen \({\displaystyle e={\sqrt {\frac {(a\cdot c+b\cdot d)\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}{a\cdot b+c\cdot d}}}}\)
\({\displaystyle f={\sqrt {\frac {(a\cdot b+c\cdot d)\cdot (a\cdot c+b\cdot d)}{a\cdot d+b\cdot c}}}}\)
Umkreisradius \({\displaystyle R={\frac {1}{4\cdot A}}\cdot {\sqrt {(a\cdot b+c\cdot d)\cdot (a\cdot c+b\cdot d)\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}}\)
Innenwinkel \({\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }}\)

Die zuerst genannte Formel für den Flächeninhalt ist eine Verallgemeinerung des Satz des Heron für Dreiecke und wird auch als Satz von Brahmagupta oder Formel von Brahmagupta bezeichnet. Hierbei fasst man ein Dreieck als ein ausgeartetes Sehnenviereck auf, dessen vierte Seite die Länge 0 besitzt, d. h. zwei seiner Eckpunkte liegen aufeinander. Die Formel von Brahmagupta kann zur Formel von Bretschneider verallgemeinert werden, diese fügt Brahmaguptas Formel einen Korrekturterm, der im Falle eines Sehnenvierecks 0 ist, hinzu und gilt dann für beliebige Vierecke.

Ein Viereck mit festen, geordneten Seitenlängen hat genau dann den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenviereck ist. Ebenso hat ein Vieleck genau dann den größten Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenvieleck ist.[1]

Weitere Formeln

Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Flächeninhalte der Dreiecke ABM, BCM, CDM und DAM

\({\displaystyle A(ABM)={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot {\sqrt {r^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-a^{2}}}}\) und entsprechend
\({\displaystyle A(BCM)={\frac {b}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-b^{2}}}}\)
\({\displaystyle A(CDM)={\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-c^{2}}}}\)
\({\displaystyle A(CDM)={\frac {d}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-d^{2}}}}\)

Der Flächeninhalt des Sehnenvierecks ABCD ist die Summe dieser 4 Flächeninhalte, also gilt

\({\displaystyle {\begin{aligned}A&=A(ABM)+A(BCM)+A(CDM)+A(CDM)\\&={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-a^{2}}}+{\frac {b}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-b^{2}}}+{\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-c^{2}}}+{\frac {d}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-d^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}\cdot \left(a\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-a^{2}}}+b\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-b^{2}}}+c\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-c^{2}}}+d\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-d^{2}}}\right)\end{aligned}}}\)

Bezeichnet man die Mittelpunktswinkel, die den Seiten \({\displaystyle a}\), \({\displaystyle b}\), \({\displaystyle c}\), \({\displaystyle d}\) gegenüber liegen, mit \({\displaystyle \alpha _{m}}\), \({\displaystyle \beta _{m}}\), \({\displaystyle \gamma _{m}}\), \({\displaystyle \delta _{m}}\), dann gilt nach der Definition von Sinus und Kosinus

\({\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {a}{2\cdot r}}}\) und \({\displaystyle \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {\sqrt {4\cdot r^{2}-a^{2}}}{2\cdot r}}}\), also \({\displaystyle \sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)={\frac {a}{2\cdot r}}\cdot {\frac {\sqrt {4\cdot r^{2}-a^{2}}}{2\cdot r}}={\frac {a\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-a^{2}}}}{4\cdot r^{2}}}}\). Aus der Formel für die Doppelwinkelfunktionen folgt
\({\displaystyle a\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-a^{2}}}=4\cdot r^{2}\cdot \sin \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha _{m}}{2}}\right)=2\cdot r^{2}\cdot \sin(\alpha _{m})}\) und entsprechend
\({\displaystyle b\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-b^{2}}}=2\cdot r^{2}\cdot \sin(\beta _{m})}\)
\({\displaystyle c\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-c^{2}}}=2\cdot r^{2}\cdot \sin(\gamma _{m})}\)
\({\displaystyle d\cdot {\sqrt {4\cdot r^{2}-d^{2}}}=2\cdot r^{2}\cdot \sin(\delta _{m})}\)

Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt ergibt[2]

\({\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\cdot \left(2\cdot r^{2}\cdot \sin(\alpha _{m})+2\cdot r^{2}\cdot \sin(\beta _{m})+2\cdot r^{2}\cdot \sin(\gamma _{m})+2\cdot r^{2}\cdot \sin(\delta _{m})\right)\\&={\frac {r^{2}}{2}}\cdot \left(\sin(\alpha _{m})+\sin(\beta _{m})+\sin(\gamma _{m})+\sin(\delta _{m})\right)\end{aligned}}}\)

Gleichungen


Für die Innenwinkel eines Sehnenvierecks gelten folgende Gleichungen:[3]

\({\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {2\cdot {\sqrt {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)}}}{a\cdot d+b\cdot c}}}\)
\({\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}}\)
\({\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-a)\cdot (s-d)}{(s-b)\cdot (s-c)}}}}\)

Für den Schnittwinkel der Diagonalen gilt:

\({\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-b)\cdot (s-d)}{(s-a)\cdot (s-c)}}}}\)

Für den Schnittwinkel der Seiten a unc c gilt:

\({\displaystyle \cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\sqrt {\frac {(s-b)\cdot (s-d)\cdot (b+d)^{2}}{(a\cdot b+c\cdot d)\cdot (a\cdot d+b\cdot c)}}}}\)

Siehe auch


Literatur


Weblinks


Wiktionary: Sehnenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Beweis des Satzes des Ptolemäus – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise


  1. Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar N. Stoyanov: Geometric Problems on Maxima and Minima. Birkhäuser, Boston u. a. 2006, ISBN 0-8176-3517-3, S. 69 (Auszug (Google) ).
  2. Harald Schröer, Universitätsbibliothek Heidelberg: Die 4. Seite und der Flächeninhalt des Sehnenvierecks
  3. C. V. Durell, A. Robson: Advanced Trigonometry









Kategorien: Viereck | Vierecksgeometrie




Stand der Informationen: 03.11.2021 10:14:14 CET

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