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Rotationsellipsoid




Ein Rotationsellipsoid (englisch spheroid) ist eine Rotationsfläche, die durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht. Anders als bei einem dreiachsigen bzw. triaxialen Ellipsoid sind zwei Achsen gleich lang.

Je nach dem, welche der beiden Halbachsen der erzeugenden Ellipse als Drehachse fungiert, werden unterschieden:

Inhaltsverzeichnis

Vorkommen


Die meisten größeren Himmelskörper sind angenähert abgeplattete Rotationsellipsoide, die auch Sphäroide genannt werden. Sie entstehen durch die Fliehkraft, die bewirkt, dass ein sich drehender kugelförmiger Körper verformt wird. An den Polen, also den Durchstoßpunkten der Rotationsachse, werden diese Körper abgeplattet, am Äquator entsteht eine Ausbauchung. Besonders deutlich ist die Abplattung bei den großen Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind. Aber auch die Erde und die anderen Planeten des Sonnensystems werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt. Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet, die Erdabplattung beträgt 1/298,257223563 (WGS 84).

Elliptische Galaxien sind oft keine Rotationsellipsoide, sondern triaxial.

Parameterdarstellung


Die folgende Parameterdarstellung beschreibt ein Rotationsellipsoid, das durch Rotation der Halb-Ellipse \({\displaystyle (a\cos t,0,c\sin t),-{\tfrac {\pi }{2}}\leq t\leq {\tfrac {\pi }{2}}}\) (in der \({\displaystyle x}\)-\({\displaystyle z}\)-Ebene) um die \({\displaystyle z}\)-Achse entsteht (s. Rotationsfläche):

\({\displaystyle {\begin{pmatrix}a~\cos t~\cos \varphi \\a~\cos t~\sin \varphi \\c~\sin t\end{pmatrix}}\qquad (-{\tfrac {\pi }{2}}\leq t\leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ 0<a,c)}\).

Die Zahlen \({\displaystyle a,c}\) sind die Halbachsen der rotierenden Halbellipse. Im Fall \({\displaystyle a>c}\) entsteht ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, im Fall \({\displaystyle a<c}\) ein verlängertes Rotationsellipsoid. Falls \({\displaystyle a=c}\) ist, ergibt sich eine Kugel mit Radius \({\displaystyle a}\).

Man beachte: Die Pole (Punkte auf der Rotationsachse) besitzen keine eindeutige Darstellung.

Das entstandene Rotationsellipsoid besitzt die implizite Darstellung:

\({\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ .}\)

Volumen


Das Volumen des obigen Rotationsellipsoids beträgt

\({\displaystyle V={\frac {4\pi }{3}}a^{2}c}\).

Dabei ist \({\displaystyle a}\) der Radius des Äquatorkreises und \({\displaystyle c}\) der Abstand der Pole vom Mittelpunkt.

Oberfläche


Die Oberfläche[1] für das abgeplattete Ellipsoid (\({\displaystyle a>c}\)) berechnet man mit

\({\displaystyle A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\,\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{c}}\right)\right)\ ,}\)

die des verlängerten Ellipsoids (\({\displaystyle c>a}\)) mit

\({\displaystyle A=2\pi a\left(a+{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}\,\operatorname {arcsin} \left({\frac {\sqrt {c^{2}-a^{2}}}{c}}\right)\right)\ .}\)

Eine Kugel mit Radius \({\displaystyle r}\) hat das Volumen \({\displaystyle V={\frac {4\pi }{3}}r^{3}}\) und die Oberfläche \({\displaystyle A=4\pi r^{2}}\) (s. Kugel).

Herleitung der Formeln

Der Inhalt des Flächenmantels einer durch Rotation der Kurve \({\displaystyle (r(t),0,z(t))\ ,t_{1}\leq t\leq t_{2}}\) erzeugten Rotationsfläche ist

\({\displaystyle A=2\pi \int _{t_{1}}^{t_{2}}r\ {\sqrt {{\dot {r}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\,dt.\ }\) (siehe Rotationsfläche)

Für das obige Rotationsellipsoid ist \({\displaystyle r(t)=a\cos t,\ z(t)=c\sin t}\). Es muss also das Integral

\({\displaystyle A=2\cdot 2\pi \int _{0}^{\pi /2}a\cos t{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+c^{2}\cos ^{2}t}}\mathrm {d} t}\)

(2-mal ein halbes Ellipsoid) berechnet werden. Für \({\displaystyle a=c}\) ist \({\displaystyle {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+c^{2}\cos ^{2}t}}={\sqrt {a^{2}(\sin ^{2}t+\cos ^{2}t)}}=a}\) und es ergibt sich die Oberfläche einer Kugel. Im Folgenden wird \({\displaystyle a\neq c}\) vorausgesetzt.

Die Substitution \({\displaystyle u=\sin t}\) mit \({\displaystyle \mathrm {d} u=\cos t\mathrm {d} t}\) führt zu

\({\displaystyle A=4\pi a\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}u^{2}+c^{2}(1-u^{2})}}\ \mathrm {d} u=4\pi a\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {(a^{2}-c^{2})u^{2}+c^{2}}}\ \mathrm {d} u}\)

und damit zu

\({\displaystyle A=4\pi a{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {u^{2}+{\frac {c^{2}}{a^{2}-c^{2}}}}}\ \mathrm {d} u\quad ,}\) falls \({\displaystyle a>c}\), und
\({\displaystyle A=4\pi a{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {{\frac {c^{2}}{c^{2}-a^{2}}}-u^{2}}}\ \mathrm {d} u\quad ,}\) falls \({\displaystyle c>a}\).

Unter Beachtung, dass der Bruch unter der Quadratwurzel in beiden Fällen positiv ist, ergeben sich mit Hilfe einer Integrationstabelle (z. B. Bronstein-Semendjajew) die Stammfunktionen für die beiden Integrale und schließlich die oben angegebenen Formeln für die Oberfläche.

Anwendung


In der Geodäsie, Kartografie und den anderen Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische Annäherung an das physikalische Geoid benutzt. Diese Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzfläche, um die Lage bzw. Höhe von Objekten der Erdoberfläche anzugeben. Man spricht dann von einem Referenzellipsoid.

In einem Hohlkörper reflektieren die Begrenzungsflächen des (gestreckten) Rotationsellipsoids die Strahlung von einem Brennpunkt zum anderen. Den Effekt nutzt ein Flüstergewölbe für die Bündelung von Schallwellen.
Derart geformte optische Reflektoren bündeln die Strahlung einer nahezu punktförmigen, sich in einem der Brennpunkte befindlichen Lichtquelle auf den anderen Brennpunkt des Ellipsoids. Dort kann sich die Grenzfläche eines Lichtleitkabels, ein anderes optisches Element oder der Ort eines strahlungsinduzierten Prozesses befinden.

Anwendungsbeispiele


Jupiter und Saturn

Die Planeten Jupiter und Saturn sind wegen den durch die schnelle Rotation wirkenden Zentrifugalkräfte an den Polen deutlich flacher als am Äquator und haben annähernd die Form eines Rotationsellipsoids.

Jupiter

Jupiter hat den Äquatordurchmesser 142984 km und den Poldurchmesser 133708 km. Also gilt für die Halbachsen \({\displaystyle a=71492\ \mathrm {km} }\) und \({\displaystyle c=66854\ \mathrm {km} }\). Die Masse des Jupiter beträgt etwa 1,899 · 1027 kg. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten Formeln für das Volumen, die mittlere Dichte und die Oberfläche:

Das ist etwa 1321-mal so viel wie das Volumen der Erde.
Jupiter hat also insgesamt eine etwas höhere Dichte als Wasser unter Standardbedingungen.
Das ist etwa 121-mal so viel wie die Oberfläche der Erde.

Saturn

Saturn hat den Äquatordurchmesser 120536 km und den Poldurchmesser 108728 km. Also gilt für die Halbachsen \({\displaystyle a=60268\ \mathrm {km} }\) und \({\displaystyle c=54364\ \mathrm {km} }\). Die Masse des Saturn beträgt etwa 5,683 · 1026 kg. Daraus ergibt sich:

Das ist etwa 764-mal so viel wie das Volumen der Erde.
Saturn hat also insgesamt eine etwas geringere Dichte als Wasser unter Standardbedingungen.
Das ist etwa 84-mal so viel wie die Oberfläche der Erde.

Rugbyball

Ein Rugbyball hat eine Länge von etwa 280 Millimetern und an der Nebenachse einen Durchmesser von etwa 200 Millimetern. Also gilt für die Halbachsen \({\displaystyle a=100\ \mathrm {mm} }\) und \({\displaystyle c=140\ \mathrm {mm} }\). Die Masse eines Rugbyballs beträgt etwa 400 Gramm. Daraus ergibt sich:

Im Gegensatz zu Golfbällen schwimmen Rugbybälle daher auf dem Wasser.

Siehe auch


Weblinks


Wiktionary: Rotationsellipsoid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise


  1. Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5th Edition, S. 198.








Kategorien: Raumgeometrie








Stand der Informationen: 22.11.2020 10:57:34 CET

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