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Rechtssystem (Mathematik)




Als Rechtssystem bzw. rechtshändiges Koordinatensystem werden in der Mathematik und Physik gewisse Systeme (mit einer festgelegten Reihenfolge) von zwei Vektoren in der Ebene bzw. drei Vektoren im Raum bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Rechtssystem in der Ebene


Ein Rechtssystem in der Ebene sind zwei Vektoren \({\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}}\), bei denen \({\displaystyle {\vec {y}}}\) aus \({\displaystyle {\vec {x}}}\) auf kürzestem Wege durch Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn, d. h. im mathematisch positiven Drehsinn, hervorgeht.

Rechtssystem im Raum


Ein Rechtssystem im dreidimensionalen Raum sind drei Vektoren \({\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}}\) und \({\displaystyle {\vec {z}}}\), wenn vom Endpunkt des Vektors \({\displaystyle {\vec {z}}}\) aus gesehen die Vektoren \({\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}}\) ein Rechtssystem in der Ebene bilden.

Rechtssystem im \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\)


Ein Rechtssystem ist allgemein ein geordnetes Tupel \({\displaystyle ({\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n})}\) von Spaltenvektoren der Dimension \({\displaystyle n}\), so dass die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren \({\displaystyle {\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n}}\) positiv ist.

Für \({\displaystyle n=2}\) und \({\displaystyle n=3}\) ist dies äquivalent zu obigen Definitionen.

Linkssysteme


Für Linkssysteme bzw. linkshändige Koordinatensysteme gilt jeweils das Umgekehrte. In der Ebene geht der erste Vektor durch Drehung im Uhrzeigersinn, d. h. mathematisch negativen Drehsinn auf kürzestem Weg aus dem zweiten Vektor hervor, so wie er selbst seinerseits auf kürzestem Weg durch Drehung im Uhrzeigersinn in den zweiten Vektor überführt wird.[1]

Ein Linkssystem in einem Vektorraum ist ein geordnetes Tupel von Spaltenvektoren, bei dem die dazugehörige Matrix eine negative Determinante hat. Dementsprechend ist ein Linkssystem im dreidimensionalen Raum ein geordnetes Tripel von Vektoren, für die das obige Spatprodukt negativ ist.

Regeln


Ob drei Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden, lässt sich mit Hilfe folgender Regeln bestimmen:

Für 2-dimensionale Systeme kann eine der Drei-Finger-Regel analoge Regel wie folgt formuliert werden: Zeigt der Daumen der nach oben geöffneten rechten Hand in die positive \({\displaystyle x}\)-Richtung, zeigen bei einem rechtshändigen System alle übrigen Finger in die positive \({\displaystyle y}\)-Richtung – tun sie es nicht, handelt es sich um ein linkshändiges System.

Beispiele


Einzelnachweise und Anmerkungen


  1. Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S. 342–343.
  2. Fast alle praktisch verwendeten Schrauben besitzen Rechtsgewinde - solche mit Linksgewinde dagegen finden nur selten Anwendung, z. B. in Spannschlössern








Kategorien: Geometrie








Stand der Informationen: 04.07.2020 02:56:53 CEST

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