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Rand (Topologie)




Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Begriff Rand eine Abstraktion der anschaulichen Vorstellung einer Begrenzung eines Bereiches.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Der Rand einer Teilmenge \({\displaystyle U}\) eines topologischen Raumes \({\displaystyle X}\) ist die Differenzmenge zwischen Abschluss und Innerem von \({\displaystyle U}\). Der Rand einer Menge \({\displaystyle U}\) wird üblicherweise mit \({\displaystyle \partial U}\) bezeichnet, also:

(*) \({\displaystyle \partial U={\overline {U}}\setminus U^{\circ }={\overline {U}}\cap {\overline {(X\setminus U)}}}\).

Die Punkte aus \({\displaystyle \partial U}\) werden Randpunkte genannt.

Erläuterung


Jeder Randpunkt von \({\displaystyle U}\) ist auch Berührungspunkt von \({\displaystyle U}\) und jeder Berührungspunkt von \({\displaystyle U}\) ist Element von \({\displaystyle U}\) oder Randpunkt von \({\displaystyle U}\). Die Berührungspunkte von \({\displaystyle U}\) zusammen bilden den Abschluss von \({\displaystyle U}\). Es ist also

(**) \({\displaystyle {\overline {U}}=U\cup \partial U\,.}\)

Zu jeder Teilmenge \({\displaystyle U\subseteq X}\) zerfällt der topologische Raum \({\displaystyle X}\) in das Innere von \({\displaystyle U}\), den Rand von \({\displaystyle U}\) und das Äußere von \({\displaystyle U}\):

\({\displaystyle X=U^{\circ }\;{\dot {\cup }}\;\partial U\;{\dot {\cup }}\;({X\setminus U})^{\circ }\,.}\)

Abgrenzung


Sowohl in der algebraischen Topologie als auch in der Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten gibt es Begriffe von „Rand“, die mit dem hier behandelten Randbegriff der mengentheoretischen Topologie verwandt sind, aber mit diesem (und untereinander) nicht übereinstimmen.

Eigenschaften


Beispiele


Randaxiome


Für einen topologischen Raum \({\displaystyle X}\) ist das Bilden des Randes ein Mengenoperator auf \({\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{U\mid U\subseteq X\}}\), der Potenzmenge von \({\displaystyle X}\). Dieser erfüllt für \({\displaystyle U\subseteq X}\) und \({\displaystyle V\subseteq X}\) stets die folgenden vier Regeln, die sogenannten Randaxiome:[1][2]

(R1)   \({\displaystyle U\cap V\cap \partial (U\cap V)=U\cap V\cap (\partial U\cup \partial V)}\)
(R2)   \({\displaystyle \partial U=\partial (X\setminus U)}\)
(R3)   \({\displaystyle \partial {\partial U}\subseteq \partial U}\)
(R4)   \({\displaystyle \partial {\emptyset }=\emptyset }\)

Durch die vier Regeln (R1) - (R4) ist die Struktur des topologischen Raum \({\displaystyle X}\) eindeutig festgelegt. Der mittels (**) gegebene Mengenoperator auf \({\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}\) ist ein Abschlussoperator im Sinne der Kuratowskischen Hüllenaxiome und so in Verbindung mit (*) umkehrbar eindeutig mit dem Randoperator \({\displaystyle U\mapsto \partial U}\) verknüpft.

Dabei gilt für das Mengensystem \({\displaystyle {\mathcal {\tau }}(X)}\), also die Menge der offenen Mengen von \({\displaystyle X}\):

\({\displaystyle {\mathcal {\tau }}(X)=\{U\subseteq X\mid {U\cap \partial U}=\emptyset \}}\)

Literatur


Einzelnachweise


  1. Vaidyanathaswamy: Set topology. 1964, S. 57–58.
  2. Schubert: Topologie. 1975, S. 16.



Kategorien: Mengentheoretische Topologie



Quelle: Wikipedia - https://de.wikipedia.org/wiki/Rand (Topologie) (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0


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