Polynom - de.LinkFang.org

Polynom




Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variablen bzw. Unbestimmten:

\({\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\geq 0}\)

oder kurz mit dem Summenzeichen:

\({\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\quad n\geq 0}\)

Dabei ist \({\displaystyle \textstyle \sum }\) das Summenzeichen, die Zahlen \({\displaystyle a_{i}}\) sind die jeweiligen Vielfachen und \({\displaystyle x}\) ist die Unbestimmte.

Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen formale Potenzreihen.

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige spezielle Polynome.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in \({\displaystyle x}\) (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesem Begriff und dem eines Polynoms als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Grad eines Polynoms, Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms, Polynomglied, Absolutglied, Binom; sowie Nullstellenschranke, Cauchy-Regel, Newton-Regel, gerade und ungerade Potenz.

Inhaltsverzeichnis

Etymologie


Das Wort Polynom bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. πολύ polý „viel“ und όνομα onoma „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis auf Euklids Elemente. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe \({\displaystyle a+b}\) ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die Bezeichnung Polynom geht auf Vieta zurück: In seiner Isagoge (1591) verwendet er den Ausdruck polynomia magnitudo für eine mehrgliedrige Größe.[1]

Polynome in der elementaren Algebra


Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion \({\displaystyle P}\) der Form

\({\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n},\quad n\geq 0}\),

wobei als Definitionsbereich für die (unabhängige) Variable \({\displaystyle x}\) jede beliebige \({\displaystyle R}\)-Algebra in Frage kommt, wenn \({\displaystyle R}\) der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen, der reellen oder der komplexen Zahlen.

Der Koeffizient \({\displaystyle a_{0}}\) heißt Absolutglied. \({\displaystyle a_{1}x}\) wird als lineares Glied bezeichnet, \({\displaystyle a_{2}x^{2}}\) als quadratisches Glied und \({\displaystyle a_{3}x^{3}}\) als kubisches.

Einfaches Beispiel

Durch

\({\displaystyle P(x):=9x^{3}+x^{2}+7x-3{,}8}\)

ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist 3). In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von \({\displaystyle x}\)), die weiteren Koeffizienten lauten: 1; 7 und −3,8.

Bezeichnung spezieller Polynome

Polynome des Grades

Nullstellen des Polynoms

Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln oder Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von \({\displaystyle x}\) bezeichnet, für die der Funktionswert \({\displaystyle P(x)}\) null ist, d. h., die die Gleichung \({\displaystyle P(x)=0}\) erfüllen. Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Allgemeine Eigenschaften

Nullstellenschranken

Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad \({\displaystyle n}\) lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

Reelle Nullstellenschranken

Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken für reelle Polynome: Eine Zahl \({\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}\) heißt reelle Nullstellenschranke des reellen Polynoms \({\displaystyle f}\), wenn alle reellen Nullstellen von \({\displaystyle f}\) im Intervall \({\displaystyle [-B,B]}\) liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von \({\displaystyle f}\), wenn alle reellen Nullstellen von \({\displaystyle f}\) kleiner oder gleich \({\displaystyle B}\) sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt.

Es folgen Beispiele reeller Nullstellenschranken für normierte Polynome \({\displaystyle \textstyle f=X^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}}\), jedes Polynom kann durch eine Division auf diese Form gebracht werden. Für einige reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge \({\displaystyle N=\left\{k\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\mid a_{k}<0\right\}}\) der echt negativen Koeffizienten von \({\displaystyle f}\) eine besondere Rolle, \({\displaystyle |N|}\) bezeichnet deren Anzahl.

\({\displaystyle B^{n}\geq \sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|B^{i}}\)
erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (solche \({\displaystyle B}\) sind sogar Schranken für die Beträge komplexer Nullstellen komplexer Polynome). Spezialfälle hiervon sind (siehe auch Satz von Gerschgorin)
Komplexe Nullstellenschranken

Für komplexe Polynome \({\displaystyle f}\) sind als Pendant zu den reellen Nullstellenschranken Kreise um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene üblich, deren Radius so groß zu wählen ist, dass alle (bzw. je nach Anwendung auch nur „einige“) komplexen Nullstellen des Polynoms auf der Kreisscheibe mit diesem Radius liegen. Eine Zahl \({\displaystyle B\in \mathbb {R} _{+}}\) heißt komplexe Nullstellenschranke des komplexen Polynoms \({\displaystyle f}\), wenn alle Nullstellen von \({\displaystyle f}\) auf der Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius \({\displaystyle B}\) liegen (oder anders formuliert: wenn der Betrag jeder Nullstelle kleiner oder gleich \({\displaystyle B}\) ist). Ein Ergebnis für komplexe Polynome ist:

\({\displaystyle |a_{k}|B^{k}\geq \sum _{i\in \{0,\dotsc ,n\}\setminus \{k\}}|a_{i}|B^{i}}\)
erfüllt, definiert einen Kreis in der komplexen Ebene mit Radius \({\displaystyle B}\) um den Nullpunkt, der genau \({\displaystyle k}\) komplexe Nullstellen enthält (Folgerung aus dem Satz von Rouché). Diese Ungleichung ist für \({\displaystyle k=0,n}\) immer lösbar, aber nicht notwendig für jeden Index \({\displaystyle k=1,\dotsc ,n-1}\).

Lösungsformeln

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen. Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula falsi oder auf Polynome spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren oder das Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren sind einerseits auf jedes Polynom anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.

Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und quartische Gleichungen gibt es allgemeine Lösungsformeln, für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

\({\displaystyle f(x)=c_{0}\cdot x^{n}+c_{1}\cdot x^{n-1}+\dotsb +c_{1}\cdot x+c_{0}}\)
d. h. für den \({\displaystyle i}\)-ten Koeffizienten gilt \({\displaystyle c_{i}=c_{n-i}\,}\); anders gesagt: die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Polynome und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mit Hilfe der Substitution \({\displaystyle z=x+1/x}\) (bzw. \({\displaystyle z=x-1/x}\)) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist. Für Details siehe reziprokes Polynom.
Setzen wir \({\displaystyle c}\) als reell voraus, so sind die \({\displaystyle n}\) Lösungen Vielfache der komplexen \({\displaystyle n}\)-ten Einheitswurzeln:
\({\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{c}}\cdot \exp \left({2k\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c\geq 0}\)
\({\displaystyle x_{k}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot \exp \left({(2k+1)\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c<0}\),
wobei \({\displaystyle k=0,\dotsc ,n-1}\) durchläuft.
\({\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+c_{n-4}\cdot x^{n-4}+\dotsb +c_{4}\cdot x^{4}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{0}}\)
Die Lösung erfolgt durch die Substitution \({\displaystyle z=x^{2}\,}\). Hat man eine Lösung für \({\displaystyle z_{1}}\) gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für \({\displaystyle x}\) abzuleiten sind:
\({\displaystyle x_{1}={\sqrt {z_{1}}}}\) und \({\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}}\)
\({\displaystyle f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+\dotsb +c_{5}\cdot x^{5}+c_{3}\cdot x^{3}+c_{1}\cdot x}\)
Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch \({\displaystyle x}\) aus und behandelt es dann wie ein Polynom \({\displaystyle (n-1)}\)-ten Grades, welches nur gerade Potenzen von \({\displaystyle x}\) enthält.

Polynome in der linearen Algebra


Polynome in der abstrakten Algebra


Definition

In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes \({\displaystyle R[X]}\). Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes \({\displaystyle R}\) durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element \({\displaystyle X}\). Damit enthält \({\displaystyle R[X]}\) die Potenzen \({\displaystyle X^{n}}\), \({\displaystyle n\in \mathbb {N} }\) und deren Linearkombinationen \({\displaystyle \textstyle a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}X^{k}}\) mit \({\displaystyle a_{k}\in R}\). Dies sind auch schon alle Elemente, d. h., jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge

\({\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},0,0,\dots )\in R\times R\times R\times \dots }\)

seiner Koeffizienten charakterisiert.

Konstruktion

Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings \({\displaystyle R[X]}\) durch die Menge der endlichen Folgen in \({\displaystyle R\times R\times R\times \dots }\) konstruiert werden. Dazu wird auf \({\displaystyle R[X]}\) eine Addition „\({\displaystyle +}\)“ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „\({\displaystyle \cdot }\)“ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also \({\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}\) und \({\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}\), so ist

\({\displaystyle a+b:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}\)

und

\({\displaystyle a\cdot b:=\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}=\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}},}\)

\({\displaystyle R[X]}\) mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der Polynomring (in einer Unbestimmten) über \({\displaystyle R}\).

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge \({\displaystyle X:=(0,1,0,0,\dotsc )}\), so dass \({\displaystyle X^{2}=X\cdot X=(0,0,1,0,0,\dotsc )}\), \({\displaystyle X^{3}=X^{2}\cdot X=(0,0,0,1,0,0,\dotsc )}\) etc., so kann jede Folge \({\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )\in R[X]}\) wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als

\({\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )=a_{0}+a_{1}\cdot X+a_{2}\cdot X^{2}+\dotsb =a_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{>0}}a_{n}\cdot X^{n}.}\)

Zusammenhang mit der analytischen Definition

Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl \({\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}\) existiert, so dass \({\displaystyle a_{i}=0}\) für alle \({\displaystyle i>n}\) gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom \({\displaystyle f\in R[X]}\) über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als \({\displaystyle f=a_{0}+a_{1}\cdot X+\dotsb +a_{n}\cdot X^{n}}\). Dabei ist \({\displaystyle f}\) jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes \({\displaystyle R[X]}\)) und \({\displaystyle X}\) ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge \({\displaystyle (0,1,0,0,\dotsc )}\). Man kann jedoch \({\displaystyle f}\) als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d. h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus.

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise \({\displaystyle R}\) der Restklassenring \({\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}}\}}\), so induzieren die Polynome \({\displaystyle f,g\in (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )[X]}\)

\({\displaystyle f=X(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})=X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X}\)

und

das Nullpolynom \({\displaystyle g=0}\)

beide die Nullabbildung \({\displaystyle 0\in \operatorname {Abb} \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)}\), das heißt: \({\displaystyle f(x)=g(x)={\bar {0}}=0(x)}\) für alle \({\displaystyle x\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} .}\)

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in \({\displaystyle R}\) bildet einen Ring (Unterring des Funktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von \({\displaystyle R[X]}\) in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Verallgemeinerungen


Polynome in mehreren Unbestimmten

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form \({\displaystyle a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}}\) als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

\({\displaystyle P(X_{1},\dotsc ,X_{n})=\sum _{i_{1},\dotsc ,i_{n}}a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}}\)
Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Durch eine Monomordnung ist es möglich die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe \({\displaystyle i_{1}+\dotsb +i_{n}}\) heißt der Totalgrad eines Monoms \({\displaystyle X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}}\). Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades[3] ist

\({\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}},}\)
Lies: „n+k-1 über k“ oder „k aus n+k-1“

wobei \({\displaystyle n}\) die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und \({\displaystyle k}\) der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades \({\displaystyle 0}\) bis \({\displaystyle k}\), erhält man für die Anzahl der möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades:

\({\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}\)
Lies: „n+k über k“ oder „k aus n+k“

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch. Gemeint ist: wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht ändert.

Auch die Polynome in den \({\displaystyle n}\) Unbestimmten \({\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}\)über dem Ring \({\displaystyle R}\) bilden einen Polynomring, geschrieben als \({\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}\).

Formale Potenzreihen

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

\({\displaystyle f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}\)
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

über, erhält man formale Potenzreihen.

Laurent-Polynome und Laurent-Reihen

Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein Laurent-Polynom. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale Laurent-Reihen betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form

\({\displaystyle f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}.}\)
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a−i (mal) (Groß-) x hoch i“

Posynomialfunktionen

Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der Posynomialfunktion.

Literatur


Weblinks


Wiktionary: Polynom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise


  1. cf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, S. 187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung „Binomische Formel“
  2. Für die Zweckmäßigkeit dieser Setzung siehe Division mit Rest.
  3. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. S. 213, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.








Kategorien: Polynom | Theorie der Polynome








Stand der Informationen: 02.07.2020 09:09:06 CEST

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