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Platonischer Körper




Die Platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Polyeder mit größtmöglicher Symmetrie. Jeder von ihnen wird von mehreren deckungsgleichen (kongruenten) ebenen regelmäßigen Vielecken begrenzt. Eine andere Bezeichnung ist reguläre Körper (von lat. corpora regularia[1][2]).

Es gibt fünf platonische Körper. Ihre Namen enthalten die griechisch ausgedrückte Zahl ihrer begrenzenden Flächen und eder als Abwandlung des griechischen Wortes ἕδρα (hedra) (s. auch Polyeder), deutsch (Sitz-)Fläche.

Die Platonischen Körper sind konvex. In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele gleich lange Kanten zusammen, an jeder Kante treffen sich zwei deckungsgleiche Flächen, und jede Fläche hat gleich viele Ecken. Es ist also nicht möglich, irgendwelche zwei Körperecken, Kanten und Flächen aufgrund von Beziehungen zu anderen Punkten des Polyeders voneinander zu unterscheiden.

Verzichtet man auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kanten, spricht man von archimedischen Körpern. Verzichtet man dagegen auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kanten, spricht man von catalanischen Körpern. Verzichtet man auf die Konvexität, spricht man von regulären Polyedern und schließt damit die Kepler-Poinsot-Körper ein.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften


Eine umfassende Darstellung der Eigenschaften der platonischen Körper enthält folgende Aufstellung.[3]

Übersicht


Die fünf
platonischen Körper
Tetraeder[4] Hexaeder[5] Oktaeder[6] Dodekaeder[7] Ikosaeder[8]
Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke Quadrate gleichseitige Dreiecke regelmäßige Fünfecke gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Ecken/Kanten einer Fläche 3 4 3 5 3
Anzahl der Flächen/Kanten in einer Ecke 3 3 4 3 5
Anzahl der Flächen 4 6 8 12 20
Anzahl der Kanten 6 12 12 30 30
Anzahl der Ecken 4 8 6 20 12
Körpernetz,
die Abbildungen zeigen je ein Beispiel
aus mehreren möglichen Netzen
Anzahl verschiedener Körpernetze 2
11
11 43380 43380
Verhältnis von Volumen

zu Umkugelvolumen

\({\displaystyle {\frac {2}{9\pi }}{\sqrt {3}}}\)
 
≈ 12,25 %
\({\displaystyle {\frac {2}{3\pi }}{\sqrt {3}}}\)
 
≈ 36,76 %
\({\displaystyle {\frac {1}{\pi }}}\)
 
≈ 31,83 %
\({\displaystyle {\frac {\sqrt {15}}{6\pi }}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}\)
 
≈ 66,49 %
\({\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2\pi }}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}\)
 
≈ 60,55 %
dual zu Tetraeder Oktaeder Hexaeder Ikosaeder Dodekaeder
Schläfli-Symbol {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}

Alternative Definition


Die platonischen Körper sind genau diejenigen Polyeder, für die es zu einem beliebigen Paar von Seitenflächen, Kanten oder Ecken immer eine Symmetrieabbildung gibt, die diese Flächen, Kanten oder Ecken vertauscht. Dies ist gemeint mit der eingangs erwähnten „größtmöglichen Symmetrie“.

Nachweis der besonderen Eigenschaften


Formen der Körperecken

Die Bedingung, dass an einer Körperecke nur gleiche Polygone zusammenstoßen, wird nur von fünf Formen von Ecken erfüllt. Der Beweis dafür findet sich schon bei Euklid.[9] Er beruht auf folgenden Überlegungen:

Sind bei einem Körper alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke (Innenwinkel 60°), so können an einer Ecke drei, vier oder fünf Dreiecke (Winkelsumme 180°, 240°, 300°) zusammentreffen.

Sind die Seitenflächen Quadrate (Innenwinkel 90°) oder regelmäßige Fünfecke (Innenwinkel 108°), so können davon jeweils drei zusammentreffen (Winkelsumme 270° bei Quadraten bzw. 324° bei Fünfecken).

Die Summe der Innenwinkel von sechs gleichseitigen Dreiecken, vier Quadraten, vier regelmäßigen Fünfecken oder drei regelmäßigen Sechsecken sind bereits 360° oder größer. Die 360°-Summe der Innenwinkel von sechs gleichseitigen Dreiecken, vier Quadraten und drei regelmäßigen Sechsecken (Innenwinkel 120°) bedeutet, dass keine Ecke im Raum entsteht, sondern eine reguläre Parkettierung der Ebene stattfindet (s. u.). Bei einer >360°-Summe der Innenwinkel können sich entsprechende Polygone überhaupt nicht in nur einer gemeinsamen Ecke treffen (vier Fünfecke, vier Sechsecke, drei regelmäßige Siebenecke usw.).

Polygon Innenwinkel Polygone pro Ecke und Eck-Summenwinkel / Polyeder mit solchen Ecken
3 4 5 6 ≥ 7
Dreieck 60° 180° / Tetraeder 240° / Oktaeder 300° / Ikosaeder 360° >360°
Viereck (Quadrat) 90° 270° / Hexaeder (Würfel) 360° >360° >360° >360°
Fünfeck 108° 324° / Dodekaeder >360° >360° >360° >360°
Sechseck 120° 360° >360° >360° >360° >360°
Sieben o. mehr Ecken 128,57° o. größer >360° >360° >360° >360° >360°

Damit ist gezeigt, dass es nicht mehr als fünf Formen von Körperecken gibt, in denen regelmäßige Polygone zusammenstoßen. Es bleibt noch zu zeigen, dass es Körper mit ausschließlich solchen Ecken gibt und dass diese die fünf platonischen Körper sind.[10]

Körper mit ausschließlich Ecken einer von fünf möglichen Formen

Von einer ersten Ecke ausgehend lassen sich durch Zufügen von Flächen weitere gleichartige räumliche Ecken bilden, und zwar so oft, bis eine geschlossene Körperoberfläche gefunden ist.
Dieser Vorgang lässt sich auch durch Bilden einer gegenüberliegenden, zunächst separaten Ecke, die dann lückenlos und überschneidungsfrei an die vorherige Ecke angeschlossen werden kann, abkürzen. Dabei entstehen die restlichen Ecken der Körperoberfläche: siehe folgende Abschnitte Hexaeder und Oktaeder.
Man kann – auch abkürzend – zwei gegenüberliegende Ecken über einen dazwischen erstellten Ring aus den betreffenden Flächen-Typen lückenlos und überschneidungsfrei zu einer geschlossenen Körperoberfläche zusammenfügen. An den beiden zusammengefügten Rändern entstehen dabei die restlichen Ecken der Körperoberfläche: siehe folgende Abschnitte Dodekaeder und Ikosaeder.

Tetraeder

Das Tripel (die 3er-Gruppe) von gleichseitigen Dreiecken, die eine räumliche Ecke bilden, hat an seinem Rand drei Punkte, an denen anfangs je zwei Dreiecke zusammenstoßen. Eine vierte Dreieckfläche passt genau zwischen diese drei Punkte, an denen sie für deren Komplettierung zu räumlichen Ecken die jeweils erforderliche dritte Fläche darstellt. Als geschlossene Flächen-Gruppe ist so die Hülle eines Tetraeders entstanden.

Hexaeder (Würfel)

Das Tripel von Quadraten, die eine räumliche Ecke (#1) bilden, hat an seinem Rand sechs markante Punkte. An drei von ihnen stoßen anfangs je zwei Quadrate zusammen. Die dazwischen liegenden anderen drei Punkte sind nur je eine Quadrat-Ecke (Flächen-Ecke). Man kann nacheinander an den erstgenannten drei Punkten je ein Quadrat so hinzufügen, dass je eine zusätzliche Körperecke (#2 bis #4) entsteht. Nach dem ersten Hinzufügen treffen sich jetzt an zwei der Zwischenpunkte je zwei Quadrate. Nach dem zweiten Hinzufügen ist aus einem dieser Punkte auch eine Körperecke (#5) geworden, am dritten Zwischenpunkt treffen sich jetzt zwei Quadrate, und erstes und zweites hinzugefügtes Quadrat bilden einen neuen Randpunkt mit zwei zusammenstoßenden Quadraten. Nach dem dritten Hinzufügen sind aus diesem Punkt und den zwei Punkten mit sonst noch je zwei Quadraten zusätzlich die den Würfel komplettierenden restlichen drei Ecken (#6 bis #8) geworden.

Die abkürzende Überlegung ist: Ein zweites, mit seinem Rand gegen den Rand des ersten zeigendes Tripel lässt sich auf seiner Symmetrieachse (Drehsymmetrie) und der des ersten Tripels so gegen das erste Tripel schieben und mit ihm lückenlos und überschneidungsfrei verbinden, dass die Oberfläche eines Hexaeders (Würfels) entsteht. Dabei werden die restlichen sechs räumlichen Ecken gebildet, an denen wechselweise zu anfangs zwei Quadraten je ein drittes und zu anfangs einem Quadrat je ein zweites und ein drittes hinzukommen.

Oktaeder

Das Quadrupel (die 4er-Gruppe) von gleichseitigen Dreiecken, die eine räumliche Ecke (#1) bilden, ist die Oberfläche einer vierseitigen Pyramide abzüglich deren Bodenfläche. An den vier Eckpunkten des quadratischen Bodenrandes stoßen anfangs nur je zwei Dreiecke zusammen. Beidseits eines dieser Eckpunkte wird zunächst je ein Dreieck angeschlossen (die beide unter sich zusammenhängen), wodurch eine neue räumliche Ecke (#2) entsteht. Die beiden benachbarten Bodenrandpunkte werden jetzt von je einem dritten Dreieck berührt. An ihnen wird nun je ein weiteres Dreieck zugefügt, die das je für zwei weitere räumliche Ecken (#3 und #4) erforderliche vierte Dreieck darstellen. Die zwei zuletzt zugefügten Dreiecke berühren auch den vierten Bodenrandpunkt, wodurch dieser ebenfalls zu einer räumlichen Ecke (#5) wird. Alle vier zugefügten Dreiecke haben einen Punkt gemeinsam, der damit eine weitere räumliche Ecke (#6) darstellt, die der ersten gegenüberliegt. Das Oktaeder ist jetzt komplett erstellt.

Die abkürzende Überlegung ist: Ein zweites, mit seinem Bodenrand gegen den Bodenand des ersten zeigendes Quadrupel lässt sich auf seiner Symmetrieachse (Drehsymmetrie) und der des ersten Quadrupels so gegen das erste Quadrupel schieben und mit ihm lückenlos und überschneidungsfrei verbinden, dass die Oberfläche eines Oktaeders entsteht. Dabei werden an den vereinigten vier Bodenrandeckpaaren die restlichen vier räumlichen Ecken, an denen je vier Dreiecke zusammenstoßen, gebildet.

Dodekaeder

Das Tripel (die 3er-Gruppe) von gleichseitigen Fünfeckflächen, die eine räumliche Ecke bilden, hat an seinem Rand neun markante Punkte. An diesen neun Punkten kann ein aus sechs Fünfecken bestehender Ring lückenlos und überschneidungsfrei an das Tripel angeschlossen und neun weitere räumliche Ecken gebildet werden. Die Abwicklung dieses Ringes sind die in etwa eine horizontale Reihe bildenden sechs Fünfecke im oben abgebildeten Körpernetz. Der Ring hat an beiden Rändern die mit dem Tripel-Rändern korrespondierenden neun markanten Punkte, sodass ein gegenüber dem ersten Tripel positioniertes zweites Tripel auch an den Ring angeschlossen und eine geschlossene Oberfläche gewonnen werden kann. An sechs Ränder-Punkten stoßen vor dem Zusammenschluss je zwei Fünfecke zusammen, drei dazwischen liegende Punkte sind nur je eine Fünfeck-Ecke. Beim Zusammenschluss zweier gegeneinander um 36° versetzten Ränder entstehen zweimal je neun 9 räumliche Ecken ( 6 mal aus 2 plus 1 Fünfeck und 3 mal aus 1 plus 2 Fünfeckflächen). Die entstandene Körperoberfläche mit 20 räumlichen Ecken (1 + 9 + 9 + 1) und 12 Fünfeckflächen (3 + 6 + 3) ist die eines Dodekaeders.

Ikosaeder

Das Quintupel (die 5er-Gruppe) von gleichseitigen Dreiecken, die eine räumliche Ecke bilden, hat an seinem Rand fünf markante Punkte, an denen anfangs je zwei Dreiecke zusammenstoßen. An diese fünf Punkte lässt sich ein aus zehn Dreiecken bestehender Ring[11] lückenlos und überschneidungsfrei anschließen. Die Abwicklung dieses Ringes sind die eine horizontale Reihe bildenden zehn Dreiecke im oben abgebildeten Körpernetz. An beiden Seiten diese Ringes gibt es fünf Punkte, an denen je drei Dreiecke zusammenstoßen. Diese auch am anderen Ring-Rand vorhandene Folge von zusammenhängenden Dreiecken ergänzt die bisherige Zusammenstellung zusammen mit einem zweiten Tripel, das dem ersten gegenüber positioniert wird, zur Oberfläche eines Ikosaeders. Bei jedem der beiden Zusammenschlüsse werden fünf neue räumliche Ecken gebildet. Die Gesamtsumme ist zwölf (1 + 5 + 5 + 1). Insgesamt sind zwanzig Dreieckflächen (5 +10 + 5) beteiligt.

Zusammenfassung

Damit ist bewiesen, dass es Körper mit ausschließlich den einleitend beschriebenen fünf Eck-Formen gibt, und dass diese die platonischen Körper sind.

Kurz zusammengefasst: An einer Ecke können drei, vier oder fünf gleichseitige Dreiecke zusammenkommen, auch drei Quadrate oder drei regelmäßige Fünfecke sind möglich. Körper mit lauter Ecken einer einzigen dieser Art sind allein die fünf platonischen Körper.

Weitere Eigenschaften

Dualität

Zu jedem konvexen Polyeder lässt sich ein Dualkörper konstruieren. Bei platonischen Körpern erhält man diesen, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet. Duale Körper im engeren Sinne haben dieselbe Kantenkugel. Einander entsprechende Kanten der dualen Körper schneiden sich in einem rechten Winkel in dem Punkt, in dem sie die Kantenkugel berühren.

Somit hat das duale Polyeder genauso viele Ecken, wie das Ausgangspolyeder Flächen hat. Der Dualkörper hat zudem genauso viele Flächen, wie der Ausgangskörper Ecken hat. Letzteres kann man sich räumlich so vorstellen, dass jede („vergrößerte“) Fläche des Dualkörpers eine Ecke des Ausgangskörper abschneidet. Drittens gilt, dass das Dualpolyeder und sein Ausgangspolyeder die gleiche Anzahl an Kanten haben. Dies lässt sich ebenfalls aus obiger Konstruktion ablesen: Zwei „benachbarte Seitenflächen“ bilden gemeinsam eine Kante des Ausgangspolyeders, und die „Verbindung der zwei Mittelpunkte“ dieser benachbarten Seitenflächen stellt eine Kante des Dualkörpers dar. Man spricht deshalb auch von dimensionsumkehrender Dualität. Und die Inversion des Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polyeder.

Bei den platonischen Körpern, als Untergruppe der konvexen Polyeder, gibt es bezüglich deren Dualkörper noch folgende Besonderheiten: Erstens haben hier Ausgangs- und Dualkörper denselben geometrischen Schwerpunkt. Zweitens ist der Dualköper eines platonischen Körpers auch selbst ein platonischer Körper. Dabei bilden Hexaeder (Würfel) und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder jeweils ein duales Paar. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, wobei sich jedoch das duale Tetraeder in (verkleinerter) zentralsymmetrischer Lage befindet, d. h., es „steht auf dem Kopf“. Drittens: Wiederholt man obige Konstruktion und konstruiert den dualen Körper zum Dualkörper, so erhält man einen „verkleinerten“ Ausgangskörper – also einen platonischen Körper, der durch Zentrische Streckung in den Ausgangskörper überführt werden kann. Beide haben somit denselben Schwerpunkt.

Symmetrie

Die platonischen Körper zeigen größtmögliche Symmetrie:

Man sagt dazu:

Es gilt sogar:

Die fünf platonischen Körper sind daher reguläre Polyeder. Die bei ihnen auftretenden Symmetriegruppen (und ihre Untergruppen) gehören zu den diskreten Punktgruppen. Duale platonische Körper haben dieselbe Symmetriegruppe. Das ist die Basis für die Konstruktion zahlreicher anderer Körper (z. B. der archimedischen Körper). Es gibt also nicht fünf, sondern nur drei dieser Gruppen: die Tetraedergruppe, die Würfelgruppe und die Ikosaedergruppe. Sie spielen in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik eine Rolle.

Aufgrund ihrer Symmetrie haben homogen gefertigte Modelle platonischer Körper die Eigenschaft, dass sie bei einem Wurf mit exakt der gleichen Wahrscheinlichkeit auf jede ihrer Flächen fallen können. Die meisten Spielwürfel sind übrigens aufgrund der Vertiefungen für die Augenzahlen nicht absolut perfekt symmetrisch.

Deltaeder

Da Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder auch zu den konvexen Deltaedern gehören, gehört aus jeder Symmetriegruppe ein Körper zu den Deltaedern.

Berührende Kugeln

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat

Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (das Zentrum) des platonischen Körpers.

Mathematische Eigenschaften


Raumwinkel in den Ecken

Im Jahre 2015 veröffentlichte H. C. Rajpoot[12] eine einfache Formel für den Ecken-Raumwinkel

\({\displaystyle \Omega =2\pi -2n\cdot \arcsin \left(\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot {\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)-\tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\right),}\)

die in allen fünf platonischen Körpern Anwendung findet. Hierin bedeuten die zwei Variablen

Tetraeder, Würfel und Dodekaeder \({\displaystyle n=3}\) ,
Oktaeder \({\displaystyle n=4}\) und für
Ikosaeder \({\displaystyle n=5}\) ;
Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder \({\displaystyle \alpha =60^{\circ }=\pi /3}\) ,
Würfel \({\displaystyle \alpha =90^{\circ }=\pi /2}\) und für
Dodekaeder \({\displaystyle \alpha =108^{\circ }=3\pi /5}\) .

Platonische Körper als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Projiziert man die Kanten eines platonischen Körpers aus dem Mittelpunkt auf eine Kugel mit demselben Mittelpunkt (z. B. auf die Umkugel), so erhält man eine Parkettierung der Kugeloberfläche durch zueinander kongruente regelmäßige sphärische Vielecke, wobei in jeder Ecke gleich viele Kanten (unter gleichen Winkeln) zusammentreffen. Diese Parkettierungen haben dieselben Symmetrien wie der Ausgangskörper. Insbesondere sind sie ebenfalls fahnentransitiv. Es sind die fünf regulären Parkettierungen der Sphäre, zwischen denen dieselben Dualitätsbeziehungen bestehen wie zwischen den Körpern. (In anderem Zusammenhang spricht man auch von Landkarten und dualen Landkarten.)

Reguläre Parkettierungen der Ebene

Jede reguläre Parkettierung kann durch ein Paar \({\displaystyle \{p,q\}}\), das sog. Schläfli-Symbol, beschrieben werden, wobei \({\displaystyle p}\) für die Anzahl der Kanten eines Feldes und \({\displaystyle q}\) für die Anzahl der in einer Ecke endenden Kanten steht. Die platonischen Körper sind die dualen Paare \({\displaystyle \{3,4\}}\) und \({\displaystyle \{4,3\}}\), \({\displaystyle \{3,5\}}\) und \({\displaystyle \{5,3\}}\) sowie das selbstduale \({\displaystyle \{3,3\}}\). Das sind alle Lösungen der Ungleichung

\({\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}\left(p,q\in \mathbb {N} \right)}\)

Diese Beziehung folgt aus dem eulerschen Polyedersatz, der die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug stellt:

Flächen + Ecken = Kanten + 2, wobei die Konstante 2 für die Sphäre charakteristisch ist.[13]

In der Ebene gilt (bei geeigneter Interpretation, nämlich asymptotischer)

Flächen + Ecken = Kanten

oder

\({\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}\left(p,q\in \mathbb {N} \right)}\)

mit den Lösungen

\({\displaystyle \{4,4\}}\) (selbstdual) sowie \({\displaystyle \{3,6\}}\) und dual dazu \({\displaystyle \{6,3\}}\), die für die drei platonischen Parkettierungen der Ebene (durch Quadrate, Dreiecke und Sechsecke) stehen, die Verallgemeinerungen der platonischen Körper darstellen.

Die Lösungen von

\({\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}\ (p,q\in \mathbb {N} )}\)

liefern die regulären Parkettierungen der hyperbolischen Ebene.

Aus den platonischen Körpern abgeleitete Polyeder


Wegen der starken Regelmäßigkeit der platonischen Körper kann man leicht andere Körper von ihnen ableiten, die auch wieder sehr regelmäßig sind. Man muss dazu nur die gleichen Konstruktionen symmetrisch auf Flächen, Kanten oder Ecken anwenden. Ein Beispiel dafür sind die dualen Körper, die sich dadurch ergeben, dass man den Mittelpunkt jeder Fläche mit den Mittelpunkten der angrenzenden Flächen verbindet.

Einbeschreibungen

Es bestehen durchaus noch andere Möglichkeiten, einen platonischen Körper in einen anderen einzubauen.

Zum Beispiel erhält man ein Tetraeder, wenn man die Diagonale einer Würfelfläche als eine Kante verwendet, die dazu windschiefe Diagonale auf der gegenüberliegende Fläche als eine andere, und als die anderen vier Kanten die Diagonalen benutzt, die die Enden der beiden verbinden.

Ein Oktaeder erhält man, wenn man Flächen durch die Mittelpunkte der Kanten eines Tetraeders legt.

Aus einem Würfel erhält man ein Dodekaeder, wenn man auf jede Seitenfläche ein geeignetes Walmdach aufsetzt; umgekehrt erhält man durch eine passende Auswahl von Flächendiagonalen auf einem Dodekaeder den Würfel zurück:

Abgestumpfte platonische Körper

Wenn man von einem platonischen Körper ausgehend ein abgestumpftes Polyeder erzeugt, indem man seine Ecken so abschneidet, dass danach alle Kanten gleich lang sind, so erhält man einen halbregulären (archimedischen) Körper. Dieser Körper entsteht auch als Schnitt des platonischen Körpers mit seinem passend vergrößerten Dualkörper.

Archimedische Körper sind Beispiele für ziemlich regelmäßige Körper, bei denen Polygone verwendet werden, die zwar regelmäßig, aber von unterschiedlicher Seitenzahl sind.

Sternkörper

Baut man Pyramiden auf den Seitenflächen auf, anstatt abzuschneiden, erhält man Sternkörper, wie das Sterntetraeder.

Verwendet man für die Pyramiden gleichseitige Dreiecke, hat man Beispiele für Polyeder, die vollständig aus gleichen Polygonen bestehen, bei denen aber unterschiedlich viele in den Ecken zusammenstoßen.

Graphentheoretische Eigenschaften

Netze

Platonische Körper haben wie alle Polyeder verschiedene Netze (siehe Übersicht oben). Es gibt nämlich verschiedene Möglichkeiten, ein hohles Polyeder durch Aufschneiden von einigen Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Ist \({\displaystyle K}\) die Anzahl der Kanten und \({\displaystyle F}\) die Anzahl der Flächen des Polyeders, dann entsteht durch Aufschneiden von \({\displaystyle K-F+1}\) Kanten ein Körpernetz. Die Ecken liegen dabei offensichtlich auf dem Rand des Netzes. Die anderen \({\displaystyle F-1}\) Kanten verbinden jeweils die regelmäßigen Polygone des Netzes.

Jeder platonische Körper hat wie jedes konvexe Polyeder einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen. Dieser Graph ist regulär ist, denn von jedem Knoten gehen \({\displaystyle {\tfrac {2\cdot K}{E}}}\) Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich \({\displaystyle {\tfrac {2\cdot K}{E}}}\) ist, wobei \({\displaystyle E}\) die Anzahl der Knoten ist. Der Knotengrad ist gleich der Anzahl der Flächen (und Kanten), die in jeder Ecke des platonischen Körpers zusammentrifft. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Graphen entsprechen den Ecken des Polyeders.

Die \({\displaystyle K-F+1}\) aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Graphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Körpernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit \({\displaystyle F}\) Knoten und \({\displaystyle F-1}\) Kanten und dem maximalen Knotengrad \({\displaystyle {\tfrac {2\cdot K}{F}}}\). Jede Fläche des platonische Körpers wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet.

Diese Betrachtungen hängen mit dem Eulerschen Polyedersatz zusammen.

Duale Graphen und Färbungen

Die Anzahl der Farben, die mindestens nötig ist, um die Knoten eines Graphen so zu färben, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, wird chromatische Zahl genannt (siehe Knotenfärbung). Die entsprechende Zahl für die Kanten nennt man chromatischer Index (siehe Kantenfärbung). Bei den Graphen der platonischen Körpern ist sie gleich dem (maximalen) Knotengrad. Im Zusammenhang mit dem Satz von Vizing werden sie Klasse-1-Graphen genannt.

Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist.

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph hilfreich. Dieser graphentheoretische Begriff der Dualität ist gewissermaßen eine Analogie oder Verallgemeinerung der geometrischen Dualität von Polyedern (siehe Abschnitt oben).

Die Knoten dieses dualen Graphen werden dabei den Gebieten des ursprünglichen Graphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion). Für den Dodekaedergraphen (siehe Abbildungen) gilt zum Beispiel: Die Knoten des dualen Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 3 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 4 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Dodekaeders oder eine Färbung der Gebiete des Dodekaedergraphen nötig.[14]

Weitere Eigenschaften

Einige andere graphentheoretische Eigenschaften sind weniger spektakulär. Alle Graphen der platonische Körper sind reguläre Graphen, weil an jeder Ecke dieser Polyeder die gleiche Anzahl von Kanten zusammentrifft. Der kürzeste Zyklus, die sogenannte Taillenweite, ist gleich der Anzahl der Ecken der Seitenflächen des betreffenden platonischen Körpers.

Der graphentheoretische Durchmesser und der graphentheoretischer Radius stimmen überein, weil alle Knoten jeweils graphentheoretisch äquivalent zueinander sind und sich mit Hilfe von Permutationen zusammen mit dem Graphen auf einen isomorphen Graphen abbilden lassen. Daraus folgt, dass alle Knoten dieselbe Exzentrizität haben und sowohl zum Rand als auch zum Zentrum des Graphen gehören.

Hamiltonkreise

Alle Graphen der platonische Körper besitzen mehrere Hamiltonkreise. Das ist ein geschlossener Pfad in einem Graphen, der jeden Knoten genau einmal enthält. Beim Würfel und beim Dodekaeder ist das alles andere als offensichtlich. Für das Tetraeder, das dem vollständigen Graphen \({\displaystyle K_{4}}\) zugeordnet ist, ist es klar. Für das Oktaeder folgt die Existenz von Hamiltonkreisen aus einem Satz von Gabriel Andrew Dirac, für das Ikosaeder aus einem Satz von William Thomas Tutte (siehe Sätze über Hamiltonkreise).

Für die Anzahl der Hamiltonkreise gibt es jedoch keine mathematische Formel und keinen wirklich einfachen Algorithmus. Untersuchungen mit dem Computer zeigen zum Beispiel, dass das Ikosaeder 2560 Hamiltonkreise besitzt.

Eulerkreise

Die Graphen von Tetraeder, Würfel, Dodekaeder und Ikosaeder besitzen keine Eulerkreise, weil der Grad aller Knoten ungerade ist. Das liegt daran, dass in jeder Ecke dieser Polyeder eine ungerade Anzahl von Kanten zusammentrifft. Das Oktaeder besitzt 1844 Eulerkreise, wie Untersuchungen mit dem Computer zeigen.

Übersicht

Die fünf
platonischen Körper
Tetraeder[4][15] Hexaeder[5][16] Oktaeder[6][17] Dodekaeder[7][18] Ikosaeder[8][19]
Polyeder
zugeordneter regulärer Graph
chromatische Zahl (siehe Knotenfärbung) 4 2 3 3 4
chromatischer Index (siehe Kantenfärbung) 3 3 4 3 5
Anzahl für die Flächenfärbung (siehe dualer Graph) 4 3 2 4 3
Knotengrad (siehe regulärer Graph) 3 3 4 3 5
Knotenzusammenhangszahl 3 3 4 3 5
Kantenzusammenhangszahl 3 3 4 3 5
kürzester Zyklus (Taillenweite) 3 4 3 5 3
graphentheoretischer Durchmesser 1 3 2 5 3
graphentheoretischer Radius 1 3 2 5 3
Cliquenzahl 4 2 3 2 3
Stabilitätszahl 1 4 2 8 3
Anzahl der Hamiltonkreise 6 12 32 60 2560
Anzahl der Eulerkreise 0 0 1488 0 0

Höherdimensionale reguläre Polytope


Der Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli bestimmte 1852 die \({\displaystyle n}\)-dimensionalen Verwandten der platonischen Körper – allerdings blieb sein Werk lange unbeachtet.[20] Es stellte sich heraus, dass es im vierdimensionalen Raum zu jedem der fünf regulären dreidimensionalen Körper (3-Polytope) eine vierdimensionale Entsprechung, ein reguläres 4-Polytop, gibt: zum Tetraeder den 5-Zeller (Pentachoron),[21] zum Würfel den 8-Zeller (Tesserakt),[22] zum Oktaeder den 24-Zeller (Ikositetrachor),[23] zum Dodekaeder den 120-Zeller (Hekatonikosachor)[24] und zum Ikosaeder den 600-Zeller (Hexakosichor).[25] Dann gibt es noch ein sechstes reguläres 4-Polytop: den 16-Zeller (Hexadekachor).[26]

Im fünfdimensionalen Raum – und auch in allen Räumen höherer Dimension – gibt es statt fünf oder sechs nur noch drei reguläre Polytope: als Simplex das Hypertetraeder, als Maßpolytop den Hyperkubus und als Kreuzpolytop dessen Dual, das Hyperoktaeder.

Geschichte


Die platonischen Körper wurden seit der Antike studiert. Die Pythagoreer (6. Jahrhundert v. Chr.) unterschieden zumindest zwischen Tetraeder, Hexaeder und Dodekaeder. Das Oktaeder wurde möglicherweise noch nicht beachtet, weil es als Doppelpyramide angesehen wurde. Der Athener Theaitetos (415–369 v. Chr.) kannte auch Oktaeder und Ikosaeder. Er bewies, dass es nur fünf konvexe reguläre Polyeder geben kann.

Der griechische Philosoph Platon (ca. 427–347 v. Chr.), ein Zeitgenosse Theaitetos’, wurde der Namensgeber für die fünf Körper. In seinem Werk Timaios (Kap. 20, 53c4–55c6) beschrieb er sie ausführlich. Er band die platonischen Körper in sein philosophisches System ein, indem er sie (ausgenommen Dodekaeder) den vier Elementen zuordnete (Kap. 21, 55c7–56c7): Feuer stand für das Tetraeder, Luft für das Oktaeder. Das Ikosaeder wurde mit Wasser assoziiert, das Hexaeder mit Erde. Das Dodekaeder ließ sich nach dieser Theorie mit dem von Aristoteles postulierten fünften Element Äther gleichsetzen.

Euklid (360–280 v. Chr.) beschrieb die platonischen Körper im XIII. Buch seiner Elemente (§§ 13–17). Darin bewies er unter anderem, dass es genau fünf gibt (§ 18a). Hypsikles nahm im später angefügten „XIV. Buch“ (aus dem 2. Jahrhundert v. Chr.) einige Volumenberechnungen vor. Das „XV. Buch“ (aus dem 6. Jahrhundert n. Chr.) enthielt weitere Entdeckungen griechischer Mathematiker bezüglich der fünf regulären Körper.

Mit dem Aufkommen der Perspektive verarbeiteten mehrere Künstler die platonischen Körper in ihren Werken: Piero della Francesca, Leonardo da Vinci (Illustrationen zu Divina Proportione von Luca Pacioli), Albrecht Dürer, Wenzel Jamnitzer (Perspectiva Corporum Regularium, 1568).

Johannes Kepler gelang es (Mysterium Cosmographicum, 1596), die Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Diese Interpretation stimmte weitgehend mit den damals bekannten astronomischen Werten überein, entsprach aber tatsächlich keiner Gesetzmäßigkeit.

Nicht-mathematische Bedeutung der platonischen Körper


Die auffällige Regelmäßigkeit macht die platonischen Körper auf vielerlei Art für den Menschen interessant.

Auch in der Natur können sich vorhandene Regelmäßigkeiten als platonische Körper ausprägen.

Literatur


Einzelnachweise


  1. Noua corpora regularia: seu, Quinque corporum regularium simplicium, in quinque alia regularia composita, metamorphosis. Inventa ante annos 60 à Thoma Diggseio Armigero, jam, prolematibus additis nonnullis, demonstrata à nepote
  2. Leibfried, Christophorus, Tabula III. Orbium Planetarum Dimensiones et Distantias Per Quinque Regularia Corpora Geometrica Exhibens
  3. Renatus Ziegler: Platonische Körper – Verwandtschaften, Metamorphosen, Umstülpungen. Dornach 2008, S. 10.
  4. a b Wolfram MathWorld: Regular Tetrahedron
  5. a b Wolfram MathWorld: Cube
  6. a b Wolfram MathWorld: Regular Octahedron
  7. a b Wolfram MathWorld: Regular Dodecahedron
  8. a b Wolfram MathWorld: Regular Icosahedron
  9. Euklid: Die Elemente. Buch XIII, § 18a
  10. Siegfried Wetzel: Die Platonischen Körper; 3. Schrittweise Ergänzung zur Oberfläche eines Polyeders
  11. Dieser Ring ist die umlaufende Oberfläche eines uniformierten fünfeckigen Antiprismas.
  12. Harish Chandra Rajpoot: Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices. SlideShare, März 2015, abgerufen am 16. Juni 2020.
  13. Die Anzahl der Flächen ist 2 mal Anz. der Kanten geteilt durch p, die der Ecken 2 mal Anz. der Kanten geteilt durch q
  14. Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 4, abgerufen am 31. Mai 2020.
  15. Wolfram MathWorld: Tetrahedral Graph
  16. Wolfram MathWorld: Cubical Graph
  17. Wolfram MathWorld: Octahedral Graph
  18. Wolfram MathWorld: Dodecahedral Graph
  19. Wolfram MathWorld: Icosahedral Graph
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  21. Eric W. Weisstein: Pentachor. In: MathWorld (englisch).
  22. Eric W. Weisstein: Tesserakt. In: MathWorld (englisch).
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  24. Eric W. Weisstein: 120-Zeller. In: MathWorld (englisch).
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  27. Martin Pfiffner: Team Syntegrity – Der kybernetische Weg zur Willensbildung in Organisationen. Malik on Management, 5/2001, S. 82–95. Online unter Archivierte Kopie (Memento des Originals vom 31. Januar 2012 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.

Weblinks


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