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Periodische Funktion


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In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte werden Periode genannt. Periodische Folgen können als Spezialfälle der periodischen Funktionen verstanden werden.

Inhaltsverzeichnis

Reelle periodische Funktionen


Definition

Eine reelle Zahl \({\displaystyle T}\) ist eine Periode einer in \({\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}\subseteq \mathbb {R} }\) definierten Funktion, wenn gilt:

Die Funktion \({\displaystyle f}\) ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode \({\displaystyle T\neq 0}\) zulässt. Man sagt dann auch, \({\displaystyle f}\) sei „\({\displaystyle T}\)-periodisch“.

Eigenschaften der Menge der Perioden und Beispiele

Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.) Wenn \({\displaystyle f}\) eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von \({\displaystyle f}\) die Vielfachen von \({\displaystyle T}\). Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von \({\displaystyle f}\) dicht in \({\displaystyle \mathbb {R} }\).

Beispiele

Bekannte periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der eine immer gleich bleibende Schwingung zwischen –1 und 1 durchführt, die sich im Abstand von \({\displaystyle 2\pi }\) (\({\displaystyle \pi }\) ist die Kreiszahl Pi) wiederholt.

Definition


Der Begriff der periodischen Funktion beschränkt sich nicht nur auf reelle Funktionen. Man kann ihn allgemeiner Definieren für Funktionen, auf deren Quellmenge eine Addition erklärt ist.

Sei also \({\displaystyle G}\) eine (additive) Halbgruppe, \({\displaystyle M}\) eine Menge und \({\displaystyle f\colon G\to M}\) eine Funktion. Existiert ein \({\displaystyle T\in G}\) mit

\({\displaystyle f(g+T)=f(g)}\)

für alle \({\displaystyle g\in G}\), dann heißt die Funktion \({\displaystyle f}\) periodisch mit Periode \({\displaystyle T}\).[1]

Beispiele


Periodische Folgen

Da eine reelle Folge \({\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}\) eine Funktion von den natürlichen Zahlen \({\displaystyle \mathbb {N} }\) in die reellen Zahlen \({\displaystyle \mathbb {R} }\) ist, kann der Begriff der periodischen Folge als Spezialfall einer periodischen Funktion aufgefasst werden. Eine Folge heißt periodische, falls es ein \({\displaystyle T}\) gibt, so dass für alle \({\displaystyle n\in \mathbb {N} }\) die Gleichheit \({\displaystyle a_{n+T}=a_{n}}\) gilt. Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Halbgruppe ist.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie

Es sei \({\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}}\) der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf \({\displaystyle \mathbb {R} }\) mit Periode \({\displaystyle T}\) mit Funktionen auf \({\displaystyle S^{1}}\) identifizieren: Einer Funktion \({\displaystyle f}\) auf \({\displaystyle S^{1}}\) entspricht die \({\displaystyle T}\)-periodische Funktion

\({\displaystyle x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} x/T})}\).

Hierbei ist \({\displaystyle \textstyle x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} x/T})}\) eine Funktion auf dem Einheitskreis, also einer Teilmenge der komplexen Zahlen. Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Beispielsweise entsprechen Fourier-Reihen \({\displaystyle \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}}\) unter dieser Abbildung den Laurent-Reihen \({\displaystyle \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}}\).

Periodische Funktionen auf reellen Vektorräumen


Es sei \({\displaystyle V}\) ein \({\displaystyle n}\)-dimensionaler reeller Vektorraum, z. B. \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\). Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion \({\displaystyle f}\) auf \({\displaystyle V}\) oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil \({\displaystyle D}\) von \({\displaystyle V}\) ist ein Vektor \({\displaystyle \gamma \in V}\), so dass

Die Menge \({\displaystyle \Gamma }\) aller Perioden von \({\displaystyle f}\) ist eine abgeschlossene Untergruppe von \({\displaystyle V}\). Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Untervektorraum von \({\displaystyle V}\) und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum \({\displaystyle V=\mathbb {C} }\) an und betrachtet nur holomorphe Funktionen \({\displaystyle f}\), so gibt es die folgenden Fälle:

Siehe auch


Weblinks


Einzelnachweise


  1. Periodische Funktion. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.



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