Noether-Theorem - de.LinkFang.org

Noether-Theorem

Das Noether-Theorem (formuliert 1918 von Emmy Noether) verknüpft elementare physikalische Größen wie Ladung, Energie und Impuls mit geometrischen Eigenschaften, nämlich der Invarianz (Unveränderlichkeit) der Wirkung unter Symmetrietransformationen:

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Dabei ist eine Symmetrie eine Transformation (zum Beispiel eine Drehung oder Verschiebung), die das Verhalten des physikalischen Systems nicht ändert. Es gilt auch die Umkehrung:

Jede Erhaltungsgröße ist Generator einer Symmetriegruppe.[1]

Eine Erhaltungsgröße E eines Systems von Teilchen ist eine Funktion der Zeit t sowie der Geschwindigkeit v und des Ortes x der Teilchen, deren Wert sich auf jeder physikalisch durchlaufenen Bahn x(t) nicht mit der Zeit ändert. Zum Beispiel ist die Energie E(t,x,v)={\tfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}+V(x) eines Teilchens der Masse m mit der Ladung q (z. B. q=m Masse im Gravitationsfeld oder q=Q elektrische Ladung im elektrischen Feld etc.), das sich in einem skalaren Potential {\displaystyle \Phi =V/q} bewegt, eine Erhaltungsgröße. Das heißt, zu jeder Zeit t und überall, also für jede feste Koordinate x gilt:

{\displaystyle E\left(t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)\right)=E\left(0,x(0),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(0)\right)}

Inhaltsverzeichnis

Beispiele für Symmetrien und zugehörige Erhaltungsgrößen


Die Symmetrien, die zur Erhaltung der elektrischen Ladung und anderer Ladungen von Elementarteilchen gehören, betreffen Wellenfunktionen von Elektronen, Quarks und Neutrinos. Jede solche Ladung ist ein lorentzinvarianter Skalar, das heißt, sie hat in allen Bezugssystemen denselben Wert, anders als beispielsweise der Drehimpuls, die Energie oder der Impuls.

Mathematische Formulierung


Wirkung

Der im Noether-Theorem formulierte Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen gilt für solche physikalischen Systeme, deren Bewegungs- oder Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip abgeleitet werden können. Man verlangt hierbei, dass das sogenannte Wirkungsfunktional einen Extremwert annimmt (siehe auch Prinzip der kleinsten Wirkung).

Bei der Bewegung von Massepunkten ist dieses Wirkungsfunktional S durch eine Lagrangefunktion der Zeit t, des Ortes x und der Geschwindigkeit {\dot {x}}={\tfrac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}

{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))

charakterisiert und ordnet jeder differenzierbaren Bahnkurve {\displaystyle x\colon t\mapsto x(t)} das Zeitintegral

{\displaystyle S[x]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\left(t,x(t),{\dot {x}}(t)\right)\,\mathrm {d} t}

zu. Beispielsweise ist in Newtonscher Physik die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential \Phi die Differenz von kinetischer Energie {\displaystyle T={\frac {m}{2}}v^{2}} und potentieller Energie {\displaystyle V=\Phi q}:

{\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))={\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {x}}^{2}(t)-V(x(t))

Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn, die zur Anfangszeit t_{1} durch den Startpunkt x_{1}=x(t_{1}) und zur Endzeit t_{2} durch den Endpunkt x_{2}=x(t_{2}) geht, macht den Wert der Wirkung im Vergleich mit allen anderen (differenzierbaren) Bahnen, die durch denselben Start- bzw. Endpunkt gehen, stationär (oder extremal). Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn erfüllt daher die Bewegungsgleichung

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}{\mathcal {L}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}

(Herleitung siehe Variationsrechnung). Dies entspricht gerade der Newtonschen Bewegungsgleichung

m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}(x).

Differentialgleichungen, die sich derart aus einem Wirkungsfunktional durch Variation ableiten lassen, nennt man variationell selbstadjungiert. Alle elementaren Feld- und Bewegungsgleichungen der Physik sind variationell selbstadjungiert.

Symmetrie

Man sagt, dass eine Differentialgleichung eine Symmetrie besitzt, wenn es eine Transformation des Raumes der Kurven gibt, die die Lösungen der Differentialgleichungen auf Lösungen abbildet. Für variationell selbstadjungierte Differentialgleichungen erhält man eine solche Transformation, wenn die Transformation das Wirkungsfunktional bis auf Randterme invariant lässt. Das Noether-Theorem besagt, dass die Invarianz des Wirkungsfunktionals gegenüber einer einparametrigen stetigen Transformationsgruppe die Existenz einer Erhaltungsgröße zur Folge hat und dass umgekehrt jede Erhaltungsgröße die Existenz einer (mindestens infinitesimalen) Symmetrie der Wirkung zur Folge hat.

Wir beschränken uns hier auf Symmetrien in der klassischen Mechanik.

Sei \Phi _{s} eine einparametrige, differenzierbare Gruppe von Transformationen, die (genügend differenzierbare) Kurven {\displaystyle \Gamma \colon t\mapsto x(t)} auf Kurven {\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(s,t,\Gamma )} abbildet und gehöre der Parameterwert s=0 zur identischen Abbildung, {\displaystyle \Phi _{0}\Gamma \colon t\mapsto x(t)}.

Beispielsweise bildet \Phi _{s}\Gamma =\Gamma _{s} mit {\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(t+s)} jede Kurve \Gamma auf die um s früher durchlaufene Kurve ab. Die Transformation {\displaystyle \Phi _{s}\Gamma =\Gamma _{s}} mit {\displaystyle \Gamma _{s}\colon t\mapsto x(t)+s\,c} verschiebt jede Kurve um eine Konstante s\,c.

Die Transformationen \Phi _{s} heißen lokal, wenn sich die Ableitung bei der identischen Abbildung, die infinitesimale Transformation

{\frac {\partial }{\partial s}}_{{|_{{s=0}}}}x(s,t,\Gamma )\ ,

für alle Kurven \Gamma als Funktion \delta x(t,x,v) der Zeit, des Ortes x und der Geschwindigkeit v, ausgewertet auf der Kurve \Gamma , schreiben lässt,

{\displaystyle \delta x\left(t,x(t),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}x(s,t,\Gamma )}.

Beispielsweise sind die Verschiebungen von Zeit und Ort lokal und gehören zur infinitesimalen Transformation \delta x=v beziehungsweise zu {\displaystyle \delta x=c}.

Sei nun {\mathcal {L}}(t,x,v) die Lagrangefunktion des mechanischen Systems. Dann heißen die lokalen Transformationen \Phi _{s} Symmetrien der Wirkung, wenn sich für alle Kurven \Gamma die Lagrangefunktion bei infinitesimalen Transformationen nur um die Zeitableitung einer Funktion K(t,x), ausgewertet auf \Gamma , ändert:

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K\left(t,x(t)\right)}

Denn dann ändert sich die Wirkung nur um Randterme

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}S[\Gamma _{s}]_{|_{s=0}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)}
{\displaystyle =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} t\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}K\left(t,x(t)\right)=K\left(t_{2},x(t_{2})\right)-K\left(t_{1},x(t_{1})\right)}.

Der Zusammenhang dieser Definition der Symmetrie der Wirkung mit der Erhaltungsgröße wird klar, wenn man die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach s ausführt, und dabei als Kurzschrift die Definition der infinitesimalen Transformation verwendet

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t))={\frac {\partial x(s,t)}{\partial s}}_{|_{s=0}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}(t,x,v)+{\frac {\partial ^{2}x(s,t)}{\partial s\partial t}}_{|_{s=0}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}(t,x,v)}
=\delta x{\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}(t,x,v)+{\frac {{\mathrm {d}}\delta x}{{\mathrm {d}}t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}(t,x,v)

Ergänzt man den ersten Term zu einem Vielfachen der Bewegungsgleichung und zieht man die Ergänzung beim zweiten Term ab, entsteht

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}_{|_{s=0}}{\mathcal {L}}\left(t,x(s,t),{\frac {\partial x}{\partial t}}(s,t)\right)=\delta x\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)}

und die Definitionsgleichung einer infinitesimalen Symmetrie einer Wirkung lautet

{\displaystyle \delta x\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\mathcal {L}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}\right)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}-K\right)=0}.

Da aber das \delta x-Fache der Bewegungsgleichungen auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet, besagt diese Gleichung, dass die Funktion

{\displaystyle Q=\delta x{\frac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}-K},

die zur Symmetrie gehörige Noetherladung, sich auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen nicht ändert:

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}Q\left(t,x_{{{\mathrm {phys}}}}(t),{\frac {{\mathrm {d}}x_{{\mathrm {phys}}}(t)}{{\mathrm {d}}t}}\right)=0

Umgekehrt ist jede Erhaltungsgröße definitionsgemäß eine Funktion Q(t,x,v), deren Zeitableitung auf physikalischen Bahnen verschwindet, also ein Vielfaches (von Ableitungen) der Bewegungsgleichungen ist. Dieses Vielfache definiert die infinitesimale Symmetrie \delta x.

Anmerkungen

E=v{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v}}-{\mathcal {L}}.

Ist bekannt, wie die Energie von der Geschwindigkeit abhängt, so legt diese Gleichung die Lagrangefunktion bis auf einen Anteil fest, der linear in den Geschwindigkeiten ist und nicht zur Energie beiträgt. Denn zerlegt man die Lagrangefunktion beispielsweise in Anteile {\mathcal {L}}_{n}v^{n}, die homogen vom Grad n in der Geschwindigkeit sind, dann tragen sie mit v{\tfrac {\partial }{\partial v}}{\mathcal {L}}_{n}v^{n}-{\mathcal {L}}_{n}v^{n}=(n-1){\mathcal {L}}_{n}v^{n} zur Energie bei. Ist also \textstyle E=\sum _{n}E_{n}(x)v^{n}\,, so ist die Lagrangefunktion

{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n}{\frac {1}{n-1}}E_{n}v^{n}}.

Insbesondere besteht in Newtonscher Physik die Energie aus der kinetischen Energie, die quadratisch in der Geschwindigkeit ist, n=2, und der geschwindigkeitsunabhängigen potentiellen Energie, n=0. Daher ist die Lagrangefunktion {\tfrac {1}{2-1}}-mal die kinetische Energie plus {\tfrac {1}{0-1}}-mal potentielle Energie. In der relativistischen Physik gilt in Maßsystemen mit c=1 für die Lagrangefunktion und die Energie eines freien Teilchens der Masse m:

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-m{\sqrt {1-v^{2}}}}
{\displaystyle E={\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}}}}}

Einzelnachweise


  1. Eugene J. Saletan und Alan H. Cromer: Theoretical Mechanics. John Wiley & Sons, 1971, ISBN 0-471-74986-9, S. 83–86 (englisch).

Literatur





Kategorien: Symmetrie (Physik) | Theoretische Mechanik | Energie | Emmy Noether als Namensgeber


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Stand der Informationen: 19.10.2019 09:42:15 CEST - Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
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