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Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulation oder Monte-Carlo-Studie, auch MC-Simulation, ist ein Verfahren aus der Stochastik, bei dem eine sehr große Zahl gleichartiger Zufallsexperimente die Basis darstellt. Es wird dabei versucht, analytisch nicht oder nur aufwendig lösbare Probleme mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie numerisch zu lösen. Als Grundlage ist vor allem das Gesetz der großen Zahlen zu sehen. Die Zufallsexperimente können entweder – etwa durch Würfeln – real durchgeführt werden oder in Computerberechnungen, bei denen zur Simulation von zufälligen Ereignissen mit geeigneten Algorithmen scheinbar zufällige Zahlen berechnet werden, die auch als Pseudozufallszahlen bezeichnet werden.

Zu den Pionieren der Monte-Carlo-Methode in den 1940er Jahren gehören Stanislaw Ulam, Nicholas Metropolis und John von Neumann.

Inhaltsverzeichnis

Überblick


Anwendungen und Problemlösungen

Anwendungen der Monte-Carlo-Simulation sind beispielsweise:

Mit der Monte-Carlo-Methode können Probleme mit statistischem Verhalten simuliert werden. Diese Methode hat deshalb besonders in der Physik wichtige Anwendungen gefunden, und zwei Bücher des Autors Kurt Binder gehören zu den meistzitierten Veröffentlichungen in dieser Wissenschaftssparte.

Geschichte und Herkunft der Bezeichnung

Enrico Fermi hatte in den 1930er Jahren die ersten Ideen zu Monte-Carlo-Simulationen. Ausgeführt wurden diese 1946 von Stanislaw Ulam und dem von ihm deshalb kontaktierten John von Neumann.[4] Dies geschah zur Zeit des 2. Weltkriegs während der Arbeit an einem damals geheimen Projekt am Los Alamos Scientific Laboratory, für das ein Codename nötig war. Es ging im Rahmen der Entwicklung der ersten Atombombe um die Neutronendiffusion in nuklearen Materialien.[5] Auch die mathematische Methode der Simulation musste geheim gehalten werden. Der Name Monte-Carlo wurde von Nicholas Metropolis geprägt und hängt wie folgt mit der Methode zusammen: Stan Ulam hatte einen Onkel, der sich zum Spielen immer Geld von Verwandten geliehen hatte, denn „er musste nach Monte Carlo gehen“.[6] Dies ist natürlich eine Anspielung auf die Spielbank Monte-Carlo im gleichnamigen Stadtteil des Stadtstaates Monaco.[7][8][9]

Mathematik


Mathematisch ist das System ein wahrscheinlichkeitsgewichteter Weg im Phasenraum (allgemein Zustandsraum). Monte-Carlo-Simulationen sind besonders geeignet, um statistische Mittelwerte einer Größe {\mathcal {A}},

\left\langle {\mathcal {A}}\right\rangle =\sum _{{x\in \Omega }}P(x)\,{\mathcal {A}}(x),

oder hochdimensionale Integrale (Monte-Carlo-Integration) wie

{\displaystyle \int _{x\in \Omega }\!\!P(x)\,{\mathcal {A}}(x)\;\mathrm {d} ^{n}x}

zu berechnen. P(x) soll in diesem Zusammenhang ein normiertes statistisches Gewicht (etwa ein Boltzmanngewicht) sein. {\mathcal {A}}(x) ist der Wert der Größe {\mathcal {A}} im Zustand x. Die Summation bzw. Integration verläuft hier über einen Raum \Omega , also der Phasenraum der Teilchen im System.

Häufig ist der Raum \Omega so groß, dass die Summation nicht vollständig durchgeführt werden kann. Stattdessen erzeugt man nun eine Markow-Kette x_{1},x_{2},x_{3},\ldots von Zuständen in \Omega , deren Häufigkeit wie das vorgegebene Gewicht P(x) verteilt ist. Bereiche des Raumes \Omega mit hohem Gewicht sollen also häufiger in der Markow-Kette vertreten sein als Bereiche mit niedrigem Gewicht. (Man spricht hier von Importance Sampling.) Gelingt dies, so lassen sich die Erwartungswerte einfach als arithmetisches Mittel der Größe {\mathcal {A}} zu diesen Zuständen der Markow-Kette berechnen, also als

\left\langle {\mathcal {A}}\right\rangle \approx {\frac {1}{N}}\sum _{{i=1}}^{N}{\mathcal {A}}(x_{i}).

Dieser Zusammenhang basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen. Je nach physikalischem System kann es schwierig sein, diese Markow-Kette zu erzeugen. Insbesondere ist sicherzustellen, dass die Markow-Kette tatsächlich den gesamten Raum \Omega bedeckt und nicht nur einen Teil des Raumes abtastet. Man sagt: der Algorithmus muss ergodisch sein.

Methoden


Metropolis-Monte-Carlo

Der von Nicholas Metropolis publizierte Metropolisalgorithmus zur Untersuchung statistisch-mechanischer Systeme mittels Computersimulation leitet sich von der Monte-Carlo-Integration ab.

Sequentielle Monte-Carlo-Methode (SMC)

Sequentielle Monte-Carlo-Methoden eignen sich zur Bayesschen Zustandsschätzung von dynamischen Systemen. Ziel ist es, den Systemzustand als Funktion der Zeit auf Basis einer Reihe von Beobachtungen des Systems und A-priori-Kenntnissen der Systemdynamik zu schätzen. Dazu wird die komplizierte Wahrscheinlichkeitsdichte des Zustandes diskret durch eine Menge von Partikeln approximiert. Sequentielle Monte-Carlo-Methoden werden auch Partikelfilter genannt.

Quanten-Monte-Carlo-Methoden (QMC)

Quanten-Monte-Carlo-Methoden werden zur Berechnung physikalischer Observablen in quantenfeldtheoretischen Modellen benutzt. Beispiele sind Modelle aus der theoretischen Festkörperphysik wie das Hubbard-Modell oder das tJ-Modell.

Kinetische Monte-Carlo-Methode

Die kinetische Monte-Carlo-Methode erlaubt es den zeitlichen Fortschritt eines Systems zu simulieren.

Verbreitete Programmpakete mit Monte-Carlo-Methoden


Siehe auch


Literatur


Weblinks


 Commons: Monte-Carlo-Simulation  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise


  1. Gleißner; W.: Risikoanalyse, Risikoquantifizierung und Risikoaggregation, in: WiSt, 9/2017, S. 4–11
  2. S. Jayraman: A Review of Monte Carlo Methods in Real Estate. 2. Mai 2013, abgerufen am 20. Mai 2017 (englisch, und Quellen darin).
  3. Klaus Bernhard Gablenz: Monte Carlo hilft bei Unsicherheiten. In: Immobilienzeitung. Ausgabe 29, 26. Juli 2007, S. 6 (svgablenz.de [PDF]).
  4. Christophe Andrieu, Nando de Freitas, Arnaud Doucet, Michael I. Jordan: An Introduction to MCMC for Machine Learning (PDF, 1,0 MB), In: Machine Learning 2003, Vol. 50, Band 1–2, S. 5–43.
  5. Lecture Notes in Structural Reliability - Engineering Risk Analysis Group; Technische Universität München
  6. N Metropolis: BEGINNING of the MONTE CARLO METHOD. Hrsg.: Los Alamos Science Special Issue. 1987, S. 125–130 (fas.org [PDF]).
  7. Douglas Hubbard: How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business. John Wiley & Sons, 2007, S. 46.
  8. Charles Grinstead, J. Laurie Snell: Introduction to Probability. American Mathematical Society, 1997, S. 10–11.
  9. H. L. Anderson: Metropolis, Monte Carlo and the MANIAC. (PDF, 829 kB) Los Alamos Science, Nr. 14, 1986, S. 96–108, 1986.
  10. Im der bibliografischen Datenbank WorldCat sind über 10000 Arbeiten verzeichnet, die dem Programm MCNP selbst oder Anwendungen des Programms gewidmet sind
  11. A General Monte Carlo N-Particle (MCNP) Transport Code: Monte Carlo Methods, Codes, & Applications Group. Abgerufen am 19. Juni 2018.
  12. X-5 Monte Carlo Team: MCNP — A General Monte Carlo N-Particle Transport Code, Version 5: Volume I: Overview and Theory. Abgerufen am 19. Juni 2018.



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