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Lot (Mathematik)




Ein Lot ist in der Geometrie eine Strecke oder Gerade, die auf einer gegebenen Geraden oder Ebene senkrecht steht. Je nachdem, ob es sich um eine Gerade oder um eine Strecke handelt, spricht man auch von Lotgerade oder Lotstrecke. Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden oder Ebene wird Lotfußpunkt genannt. Das Lot kann auf verschiedene Weisen mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruiert werden. Berechnet werden kann es durch Ermittlung eines Normalenvektors der Gerade oder Ebene oder durch Orthogonalprojektion eines Punkts außerhalb der Gerade oder Ebene. Die Länge der Lotstrecke ist dann gerade der Abstand (Normalabstand) eines Punkts von der Gerade oder Ebene.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Eine Strecke oder Gerade \({\displaystyle l}\) heißt Lot auf eine Gerade \({\displaystyle g}\) oder Ebene \({\displaystyle E}\), wenn

\({\displaystyle l\perp g}\)   bzw.   \({\displaystyle l\perp E}\)

gilt, wenn sie also senkrecht auf der Geraden oder Ebene steht und somit mit ihr einen rechten Winkel bildet. Der Lotfußpunkt ist dann der Schnittpunkt \({\displaystyle l\cap g}\) bzw. \({\displaystyle l\cap E}\) des Lots mit der Geraden oder Ebene.

Geometrische Konstruktionen


In zwei Dimensionen lässt sich das Lot auf eine Gerade auf einfache Weise mit Zirkel und Lineal konstruieren. Je nachdem, ob ein gegebener Punkt \({\displaystyle P}\) auf der Geraden \({\displaystyle g}\) oder außerhalb liegt, spricht man vom Errichten oder vom Fällen des Lots.

Errichten des Lots

Ist ein Punkt \({\displaystyle P}\) auf der Geraden \({\displaystyle g}\) gegeben, dann findet man die Lotgerade durch diesen Punkt wie folgt:

Man sticht den Zirkel in den Punkt \({\displaystyle P}\) ein und bestimmt durch Ziehen eines beliebigen Kreisbogens zwei Punkte auf \({\displaystyle g}\) mit gleichem Abstand von \({\displaystyle P}\). Dann vergrößert man den Winkel des Zirkels, sticht ihn jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf \({\displaystyle g}\) ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen einen Punkt (von zwei möglichen) außerhalb der Geraden \({\displaystyle g}\) mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt \({\displaystyle P}\) verläuft, ist dann die Lotgerade zu \({\displaystyle g}\) durch \({\displaystyle P}\).

Eine Alternative, auf einer Geraden \({\displaystyle g}\) durch den Punkt \({\displaystyle P}\) mit eingeschränkten Platzverhältnissen ein Lot zu errichten, zeigt das rechte Bild. Die einfache Konstruktion lässt sich auf folgende Art und Weise beschreiben: Man schlägt um einen frei wählbaren Punkt \({\displaystyle M}\) einen Kreisbogen mit dem Radius \({\displaystyle {\overline {MP}}}\), bis er die Gerade \({\displaystyle g}\) in \({\displaystyle A}\) schneidet (bspw. kann man \({\displaystyle M}\) so wählen, dass eine gedachte Linie von \({\displaystyle M}\) zu \({\displaystyle P}\) mit der Geraden \({\displaystyle g}\) einen Winkel von ca. 45° bildet). Es folgt das Zeichnen einer Linie ab \({\displaystyle A}\) durch \({\displaystyle M}\), bis sie den Kreisbogen in \({\displaystyle P'}\) schneidet. Die abschließende Linie, die durch \({\displaystyle P}\) und \({\displaystyle P'}\) verläuft, ist dann die Lotgerade zu \({\displaystyle g}\) durch \({\displaystyle P}\).

Fällen des Lots

Ist ein Punkt \({\displaystyle P}\) außerhalb der Geraden \({\displaystyle g}\) gegeben, dann findet man das Lot durch \({\displaystyle P}\) auf \({\displaystyle g}\) wie folgt: Man sticht den Zirkel in den Punkt \({\displaystyle P}\) ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit entsprechend großem Radius zwei Punkte auf \({\displaystyle g}\) mit gleichem Abstand von \({\displaystyle P}\). Dann sticht man jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf \({\displaystyle g}\) ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen (mit hinreichend großem Radius) einen weiteren Punkt mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt \({\displaystyle P}\) verläuft, ist dann die Lotgerade zu \({\displaystyle g}\) durch \({\displaystyle P}\) und der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit \({\displaystyle g}\) ist der Lotfußpunkt \({\displaystyle F}\).

Eine alternative Konstruktion, von einem gegebenen Punkt das Lot auf eine Gerade zu fällen, besteht darin, den Zirkel an zwei beliebigen Punkten \({\displaystyle M_{1}}\) und \({\displaystyle M_{2}}\) auf der Geraden einzustechen und jeweils den Kreis, der durch den gegebenen Punkt \({\displaystyle P}\) verläuft, einzuzeichnen. Diese beiden Kreise schneiden sich dann in einem weiteren Punkt \({\displaystyle P'}\) außerhalb der Gerade und die Linie die durch \({\displaystyle P}\) und \({\displaystyle P'}\) verläuft, ist dann die Lotgerade durch \({\displaystyle P}\). Diese Konstruktion kann auch für Spiegelungen benutzt werden.

Berechnung


In der analytischen Geometrie werden Punkte in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems durch Ortsvektoren

\({\displaystyle {\vec {OP}}=(x,y)}\)   bzw.   \({\displaystyle {\vec {OP}}=(x,y,z)}\)

beschrieben. Geraden in der Ebene sind typischerweise durch eine Geradengleichung in Parameterform

\({\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {a}}+r\cdot {\vec {u}}}\)

gegeben, wobei \({\displaystyle {\vec {p}}}\) der Ortsvektor eines Geradenpunkts (Stützvektor), \({\displaystyle {\vec {u}}}\) ein Richtungsvektor der Geraden und \({\displaystyle r}\) ein reeller Geradenparameter ist. Ebenen im Raum können als Ebenengleichung in Parameterform angegeben werden.

\({\displaystyle E:{\vec {x}}={\vec {a}}+r\cdot {\vec {u}}+s\cdot {\vec {v}}}\)

gegeben, wobei \({\displaystyle r}\) und \({\displaystyle s}\) reelle Ebenenparameter sind, sowie \({\displaystyle {\vec {u}}}\) und \({\displaystyle {\vec {v}}}\) zwei Spannvektoren der Ebene, die nicht kollinear sind. Zwei Vektoren \({\displaystyle {\vec {x}}}\) und \({\displaystyle {\vec {y}}}\) in der Ebene oder im Raum bilden einen rechten Winkel, wenn für ihr Skalarprodukt \({\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}\) gilt.

Errichten des Lots

Ein Richtungsvektor der Lotgeraden \({\displaystyle h}\) zu einer gegebenen Geraden \({\displaystyle g}\) oder einer Ebene \({\displaystyle E}\) ist ein Normalenvektor \({\displaystyle {\vec {n}}}\) der Geraden bzw. Ebene. Man erhält im zweidimensionalen Fall einen Normalenvektor einer Geraden, indem man die beiden Komponenten des Richtungsvektors \({\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}\) vertauscht und bei einer der beiden Komponenten das Vorzeichen umkehrt, z. B. zu

\({\displaystyle {\vec {n}}=(u_{2},-u_{1})}\).

Einen Normalenvektor \({\displaystyle {\vec {n}}}\) einer Ebene kann man über das Kreuzprodukt zweier nichtkollinearer Spannvektoren durch

\({\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}\)

berechnen. Ist nun ein Punkt \({\displaystyle P}\) mit dem Ortsvektor \({\displaystyle {\vec {p}}}\) auf der Geraden gegeben, dann ist die Gleichung der Lotgeraden \({\displaystyle h}\)

\({\displaystyle h:{\vec {x}}={\vec {p}}+r\cdot {\vec {n}}}\),

wobei der Parameter \({\displaystyle r}\) alle reellen Zahlen durchläuft. Eine Gerade im Raum hat keine ausgezeichnete Normalenrichtung, stattdessen besitzt sie an jedem Geradenpunkt eine Lotebene, deren Normalenvektoren zu den Richtungsvektoren der Geraden kollinear sind.

Fällen des Lots

Die Lotgerade \({\displaystyle h}\) von einem Punkt mit dem Ortsvektor \({\displaystyle {\vec {p}}}\) auf eine Gerade \({\displaystyle g}\) im zweidimensionalen Fall oder eine Ebene im Dreidimensionalen berechnet sich mithilfe des Normalenvektors \({\displaystyle {\vec {n}}}\)

\({\displaystyle h:{\vec {x}}={\vec {p}}+r\cdot {\vec {n}}}\).

Der Lotfußpunkt \({\displaystyle F}\) lässt sich als Schnittpunkt von \({\displaystyle h}\) mit \({\displaystyle g}\), bzw. \({\displaystyle E}\) berechnen.

Für eine Gerade im dreidimensionalen Raum verwendet man den Normalenvektor einer Hilfsebene \({\displaystyle H}\), die den Punkt \({\displaystyle P}\) beeinhält und senkrecht auf der Gerade steht.

Alternativ erhält man direkt den Lotfußpunkt mit dem Ortsvektor \({\displaystyle {\vec {OF}}}\) auf \({\displaystyle g}\) in der Ebene oder \({\displaystyle E}\) im Raum mit dem Normalenvektor \({\displaystyle {\vec {n}}}\) als Orthogonalprojektion

\({\displaystyle {\vec {OF}}={\vec {p}}-{\frac {({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}}\), wobei \({\displaystyle {\vec {a}}}\) der Stützvektor von \({\displaystyle g}\), bzw. \({\displaystyle E}\) ist.

Es ist auch möglich, das Lot von einem Punkt im Raum auf eine Gerade im Raum zu fällen. Ist \({\displaystyle {\vec {u}}}\) ein Richtungsvektor der Geraden und \({\displaystyle {\vec {a}}}\) der Stützvektor, dann erhält man den Ortsvektor \({\displaystyle {\vec {OF}}}\) des Lotfußpunkts durch

\({\displaystyle {\vec {OF}}={\vec {a}}+{\frac {({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}\).

Der Lotfußpunkt \({\displaystyle F}\) ist derjenige Geraden- bzw. Ebenenpunkt, der den geringsten Abstand zu \({\displaystyle P}\) hat. Die Länge der Lotstrecke, die sich mit dem Betrag \({\displaystyle |{\vec {PF}}|}\) berechnet, wird Abstand von \({\displaystyle P}\) zur Gerade \({\displaystyle g}\) oder Ebene \({\displaystyle E}\) genannt.

Beispiel

Gegeben sei die Ebene durch den Stützvektor \({\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}}}\), sowie die Spannvektoren \({\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}}\) und \({\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}}}\)

\({\displaystyle E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}}}\)

Ein Normalenvektor der Ebene ist dann

\({\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\6\\-6\end{pmatrix}}}\)

oder auch einfacher \({\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}}\). Die Lotgerade \({\displaystyle h}\) durch den Stützpunkt mit \({\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}}}\) auf \({\displaystyle E}\) hat damit beispielsweise die Geradengleichung

\({\displaystyle h:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}}+r\,{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}\,,\;r\in \mathbb {R} }\).

Ist der Ortsvektor \({\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}8\\8\\-1\end{pmatrix}}}\) eines Punktes außerhalb der Ebene gegeben, dann erhält man für den Lotfußpunkt \({\displaystyle F}\) des Lots von \({\displaystyle P}\) auf \({\displaystyle E}\) mit dem Stützvektor \({\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}}}\)mit

\({\displaystyle {\vec {OF}}={\begin{pmatrix}8\\8\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {\left[{\begin{pmatrix}8\\8\\-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}}\right]\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\8\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {27}{9}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}}\).

Der Abstand \({\displaystyle d(P;E)}\) des Punkts \({\displaystyle P}\) von der Ebene \({\displaystyle E}\) erfüllt damit

\({\displaystyle d(P;E)=d(P;F)\;{\widehat {=}}\;|{\vec {PF}}|=\left|{\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}8\\8\\-1\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}-3\\-6\\6\end{pmatrix}}\right|={\sqrt {81}}=9}\).

Literatur


Weblinks


Commons: Perpendicular  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien



Kategorien: Euklidische Geometrie



Quelle: Wikipedia - https://de.wikipedia.org/wiki/Lot (Mathematik) (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0


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Stand der Informationen: 05.05.2020 03:39:20 CEST - Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
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