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Logistische Gleichung



Die logistische Gleichung wurde ursprünglich 1837 von Pierre François Verhulst[1] als demographisches mathematisches Modell eingeführt. Die Gleichung ist ein Beispiel dafür, wie komplexes, chaotisches Verhalten aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann. Infolge einer richtungsweisenden Arbeit des theoretischen Biologen Robert May aus dem Jahr 1976[2] fand sie weite Verbreitung. Bereits 1825 stellte Benjamin Gompertz in einem verwandten Zusammenhang eine ähnliche Gleichung vor.[3]

Die zugehörige Dynamik kann anhand eines sogenannten Feigenbaumdiagramms (siehe unten) veranschaulicht werden. Eine wichtige Rolle spielt dabei die schon 1975 von Mitchell Feigenbaum gefundene Feigenbaum-Konstante.

Inhaltsverzeichnis

Das demographische Modell


Für den stetigen Fall siehe logistische Funktion.

Es werden mathematische Gesetzmäßigkeiten gesucht, die die Entwicklung einer Population modellhaft darstellen. Aus der Größe \({\displaystyle X_{n}}\) der Population zu einem gewissen Zeitpunkt \({\displaystyle n}\) soll auf die Größe \({\displaystyle X_{n+1}}\) nach einer Fortpflanzungsperiode (z. B. nach einem Jahr) geschlossen werden.

Das logistische Modell berücksichtigt zwei Einflüsse:

  1. Durch Fortpflanzung vermehrt sich die Population geometrisch. Die Individuenzahl ist im Folgejahr um einen Wachstumsfaktor \({\displaystyle q_{\mathrm {f} }}\) größer als die aktuelle Population.
  2. Durch Verhungern verringert sich die Population. Die Individuenzahl vermindert sich in Abhängigkeit von der Differenz zwischen ihrer aktuellen Größe und einer theoretischen Maximalgröße \({\displaystyle G}\) mit der Proportionalitätskonstante \({\displaystyle q_{\mathrm {v} }}\). Der Faktor, um den sich die Population vermindert, hat also die Gestalt \({\displaystyle q_{\mathrm {h} }=(G-X_{n})\,q_{\mathrm {v} }}\).

Um bei der Berechnung der Population im Folgejahr beide Prozesse zu berücksichtigen, multipliziert man die aktuelle Population \({\displaystyle X_{n}}\) sowohl mit dem Vermehrungsfaktor \({\displaystyle q_{\mathrm {f} }}\) als auch mit dem Hungerfaktor \({\displaystyle q_{\mathrm {h} }}\). Man erhält damit die logistische Gleichung

\({\displaystyle X_{n+1}=q_{\mathrm {f} }\,q_{\mathrm {v} }\,X_{n}\,(G-X_{n})}\).

Um die folgenden mathematischen Untersuchungen zu vereinfachen, wird die Populationsgröße \({\displaystyle X_{n}}\) oft als Bruchteil \({\displaystyle x_{n}}\) der Maximalgröße \({\displaystyle G}\) angegeben:

\({\displaystyle x_{n}={\frac {X_{n}}{G}}}\) .

Außerdem werden \({\displaystyle G}\), \({\displaystyle q_{\mathrm {f} }}\) und \({\displaystyle q_{\mathrm {v} }}\) zusammengefasst zum Parameter \({\displaystyle r}\):

\({\displaystyle r=G\,q_{\mathrm {f} }\,q_{\mathrm {v} }}\).

Damit ergibt sich die folgende Schreibweise für die logistische Gleichung:

\({\displaystyle x_{n+1}=r\,x_{n}\,(1-x_{n}/K)}\)

Hierbei ist \({\displaystyle K}\) die Kapazität des Biotops. Das heißt, es ist die Population, die bei geeigneter Wahl von \({\displaystyle r}\) dem Fixpunkt der Dynamik entspricht.

Das mathematische Modell


Für \({\displaystyle K=1}\) ergibt sich

\({\displaystyle x_{n+1}=r\cdot x_{n}\cdot (1-x_{n})}\)

\({\displaystyle x_{n}}\) ist dabei eine Zahl zwischen \({\displaystyle 0}\) und \({\displaystyle 1}\). Sie repräsentiert die relative Größe der Population im Jahr \({\displaystyle n}\). Die Zahl \({\displaystyle x_{0}}\) steht also für die Startpopulation (im Jahr 0). Der Parameter \({\displaystyle r}\) ist immer positiv, er gibt die kombinierte Auswirkung von Vermehrung und Verhungern wieder.

Verhalten in Abhängigkeit von r

Die Animation unten zeigt die Zeitreihenentwicklung der Logistischen Gleichung im Zeit- und Frequenzbereich (Fourier-Analysis) für \({\displaystyle 2<r<4}\).

Gut sichtbar sind die Zonen der Intermittenz innerhalb des deterministischen Chaos.

Bei verschiedenen \({\displaystyle r}\) können die folgenden Verhaltensweisen für große \({\displaystyle n}\) beobachtet werden. Dabei hängt dieses Verhalten nicht vom Anfangswert ab, sondern nur von \({\displaystyle r}\):

Dieser Übergang von konvergentem Verhalten über Periodenverdopplungen zu chaotischem Verhalten ist generell für nichtlineare Systeme typisch, die in Abhängigkeit von einem Parameter chaotisches oder nicht-chaotisches Verhalten zeigen.

Eine Erweiterung des Wertebereiches auf die komplexen Zahlen führt nach einer Koordinatentransformation zur Mandelbrotmenge.

Beispiel

Die „logistische Kurve“ mit einer Wachstumsrate \({\displaystyle r=1{,}4}\) verläuft S-förmig. Ab einem Wert um 3,6 bricht Chaos aus, wie die Abbildung mit \({\displaystyle r=3{,}81}\) illustriert.[4]

Graphische Darstellung

Das folgende Bifurkationsdiagramm, bekannt als Feigenbaum-Diagramm, fasst diese Beobachtungen zusammen. Die horizontale Achse gibt den Wert des Parameters \({\displaystyle r}\) an und die vertikale Achse die Häufungspunkte für die Folge \({\displaystyle x_{n}}\).

Analytische Lösung


Für den Parameter \({\displaystyle r=2}\) existiert eine analytische Lösung:

\({\displaystyle x(n)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{\left(2^{n}\right)}}\)

Für die Parameter \({\displaystyle r=-2}\) und \({\displaystyle r=4}\) können ebenfalls analytische Lösungen angegeben werden.

Einzelnachweise


  1. Pierre-François Verhulst: Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. In: Correspondance Mathématique et Physique. Band 10, 1838, ZDB-ID 428605-4 , S. 113–121.
  2. Robert May: Simple mathematical models with very complicated dynamics Nature V. 261, S. 459–467 (10 Juni 1976)
  3. Benjamin Gompertz: On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality, and on a New Mode of Determining the Value of Life Contingencies. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Vol. 115, 1825, ISSN 0260-7085 , S. 513–585.
  4. Jürgen Beetz: 1 + 1 = 10. Mathematik für Höhlenmenschen. Springer, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8274-2927-8, S. 313 f.

Weblinks





Kategorien: Nichtlineare Dynamik | Theoretische Ökologie | Dynamisches System



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