Kreiszahl


Die Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\) (Pi), auch Ludolphsche Zahl, Ludolfsche Zahl oder Archimedes-Konstante, ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe für alle Kreise gleich.

Die Kreiszahl ist eine transzendente und somit auch irrationale Zahl. Ihre Dezimalbruchentwicklung beginnt mit \({\displaystyle \pi =3{,}1415926\ldots ,}\) wobei in der Praxis oft nur drei signifikante Stellen verwendet werden: \({\displaystyle \pi \approx 3{,}14}\).[A 1]

Die Kreiszahl tritt nicht nur in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien Bedeutung. Beispielsweise lässt sich durch sie die Lösung des klassischen Basler Problems mit der Theorie der Fourierreihen verknüpfen.[1]

Seit dem 14. August 2021 sind rund 62,8 Billionen Nachkommastellen der Dezimaldarstellung der Kreiszahl bekannt.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte der Bezeichnung


Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi (\({\displaystyle \pi }\)) (nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“ oder περίμετρος – perimetros, „Umfang“) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit \({\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}}\)[2] das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. \({\displaystyle {\tfrac {\pi }{\delta }}=3{,}1415\ldots }\)[3]

Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow.

David Gregory nahm \({\displaystyle {\tfrac {\pi }{\rho }}}\) (1697) für das Verhältnis von Umfang zu Radius.[4]

59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben \({\displaystyle \pi }\) ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.[5][6]

Erst im 18. Jahrhundert wurde \({\displaystyle \pi }\) durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals \({\displaystyle \pi }\) für die Kreiszahl, nachdem er zuvor \({\displaystyle p}\) verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Definition


Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\) zu definieren.

Eigenschaften


Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl \({\displaystyle \pi }\) ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen \({\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }\), also nicht als Bruch \({\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}\), dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.[11][A 2]

Tatsächlich ist die Zahl \({\displaystyle \pi }\) sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das \({\displaystyle \pi }\) als eine Nullstelle hat. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, \({\displaystyle \pi }\) nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da \({\displaystyle \pi }\) eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung[12]

\({\displaystyle \pi =3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\;502\;884\;197\;169\;399\;375\;105\;820\;974\;944\;592\;307\;816\;406\;286\;208\;998\;628\;034\;825\;342\;117\;067\;9\ldots }\)

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).[13]

Darstellung zu anderen Zahlenbasen

Im Binärsystem ausgedrückt ist

\({\displaystyle \pi =11.0010\;0100\;0011\;1111\;0110\;1010\;1000\;1000\;1000\;0101\;1010\;0011\;0000\;1000\;1101\;0011\;0001\;0011\;0001\;1001\;1000\;1010\;0010\;1110...}\) (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004601).

In OEIS sind auch die Zahlen der Darstellungen zu den Basen 3 bis 16 und 60 angegeben.

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da \({\displaystyle \pi }\) irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang. Der reguläre Kettenbruch[A 3] der Kreiszahl beginnt so:

\({\displaystyle \pi =3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}\)

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von \({\displaystyle \pi }\) ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch[A 4] (Folge A280135 in OEIS):

\({\displaystyle \pi =4-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{17-{\frac {1}{294-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}\)

Anders als bei der Eulerschen Zahl \({\displaystyle e}\) konnten bislang bei der regulären Kettenbruchdarstellung von \({\displaystyle \pi }\) keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.[14]

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von \({\displaystyle \pi }\), bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:[15]

\({\displaystyle \pi =3+{\frac {1^{2}}{\scriptstyle 6+{\frac {3^{2}}{6+{\frac {5^{2}}{6+{\frac {7^{2}}{6+{\frac {9^{2}}{6+{\frac {11^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{1+{\frac {1^{2}}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{\scriptstyle 1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+\ddots }}}}}}}}}}}}}\)

Näherungsbrüche der Kreiszahl

Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner Folge A002486 in OEIS) die folgenden:[16][17]

Schritt Kettenbruch Näherungsbruch Dezimaldarstellung
(falsche Ziffern in rot)
Absoluter Fehler
bei der Umfangsberechnung eines Kreises
von 1000 km Durchmesser
\({\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}}\) \({\displaystyle [3]}\) \({\displaystyle {\frac {3}{1}}}\) \({\displaystyle 3{,}{\color {red}0}}\) − 141,59 km
\({\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}\) \({\displaystyle [3;7]}\) \({\displaystyle {\frac {22}{7}}}\) \({\displaystyle 3{,}14{\color {red}2\;85\;\ldots }}\) + 1,26 km
\({\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}\) \({\displaystyle [3;7,15]}\) \({\displaystyle {\frac {333}{106}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;5{\color {red}09\;4\ldots }}\) − 83,22 m
\({\displaystyle {\frac {p_{3}}{q_{3}}}}\) \({\displaystyle [3;7,15,1]}\) \({\displaystyle {\frac {355}{113}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;{\color {red}920\;\ldots }}\) + 26,68 cm
\({\displaystyle {\frac {p_{4}}{q_{4}}}}\) \({\displaystyle [3;7,15,1,292]}\) \({\displaystyle {\frac {103993}{33102}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;{\color {red}011\;\ldots }}\) − 0,58 mm
\({\displaystyle {\frac {p_{5}}{q_{5}}}}\) \({\displaystyle [3;7,15,1,292,1]}\) \({\displaystyle {\frac {104348}{33215}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;{\color {red}921\;\ldots }}\) + 0,33 mm
\({\displaystyle \vdots }\)
\({\displaystyle {\frac {p_{10}}{q_{10}}}}\) \({\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]}\) \({\displaystyle {\frac {4272943}{1360120}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;{\color {red}389\;\ldots }}\) − 0,4 µm
(Wellenlänge blauen Lichts)
\({\displaystyle \vdots }\)
\({\displaystyle {\frac {p_{20}}{q_{20}}}}\) \({\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]}\) \({\displaystyle {\frac {21053343141}{6701487259}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;{\color {red}381\;\ldots }}\) − 2,6·10−16 m
(kleiner als ein Proton)

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung \({\displaystyle \left({\tfrac {p_{20}}{q_{20}}}\right)}\) stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\) überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden km Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Normalität

Es ist noch offen, ob \({\displaystyle \pi }\) eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.[18]

Wenn \({\displaystyle \pi }\) eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von \({\displaystyle \pi }\) zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.[A 5]

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von \({\displaystyle \pi }\) auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl \({\displaystyle \pi }\) entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl \({\displaystyle \pi }\) tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als \({\displaystyle \pi }\) ab.

Die bekannteste „Unzufälligkeit“ in der Ziffernfolge ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Dezimalstelle. Das ist deshalb verblüffend, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.

Entwicklung von Berechnungsverfahren


Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag – man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Menschen schon früh nach der exakten Kreiszahl und stellten immer genauere Schätzungen auf.

Schließlich gelang es dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., die Zahl mathematisch einzugrenzen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an \({\displaystyle \pi }\) phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Erste Näherungen

Berechnungen und Schätzungen in den vorchristlichen Kulturen

Die Kreiszahl und einige ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das altägyptische Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 16. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert \({\displaystyle \left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}1605,}\) was vom tatsächlichen Wert nur um rund 0,60 % abweicht.

Als Näherung für \({\displaystyle \pi }\) benutzten die Babylonier einfach nur 3 oder auch \({\displaystyle 3+{\tfrac {1}{8}}=3{,}125.}\) Der grobe babylonische Wert 3 findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

1 Kön 7,23 EU

Den Wert 3 nutzte man auch im alten China. In Indien nahm man für die Kreiszahl in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert \({\displaystyle \left({\tfrac {26}{15}}\right)^{2}\approx 3{,}0044}\) und wenige Jahrhunderte v. Chr. in der Astronomie den Näherungswert \({\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3{,}1623.}\) Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata gibt 498 n. Chr. das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser mit \({\displaystyle {\tfrac {62832}{20000}}=3{,}1416}\) an.

Näherungen für den praktischen Alltag

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung \({\displaystyle {\tfrac {22}{7}}\approx 3{,}142857}\) und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber \({\displaystyle \pi }\) beträgt etwa 0,04 %. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend.

Eine andere oft genutzte Näherung ist der Bruch \({\displaystyle {\tfrac {355}{113}}\approx 3{,}1415929}\), immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für \({\displaystyle \pi }\) ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von \({\displaystyle \pi }\) entsprechen, z. B.:

\({\displaystyle {\frac {22}{7}}=[3;7],\quad {\frac {355}{113}}=[3;7,15,1]}\)

Archimedes von Syrakus

Der Denkansatz: Konstantes Verhältnis bei Flächen- wie Umfangsberechnung

Archimedes von Syrakus bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen die Kreiszahl. Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von \({\displaystyle \pi }\) nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob \({\displaystyle \pi }\) also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von \({\displaystyle {\sqrt {2}}}\) die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen wie die Möndchen des Hippokrates.

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die lange vermutete Irrationalität von \({\displaystyle \pi }\) beweisen.

Annäherung durch Vielecke

Archimedes versuchte wie auch andere Forscher, sich mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für \({\displaystyle \pi }\) zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang.[19] Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als \({\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}\) sein müsse, jedoch größer als \({\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}}\):

\({\displaystyle 3{,}1408450\approx 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}\approx 3{,}1428571}\)

Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

\({\displaystyle 3+{\frac {9552}{67441}}<\pi <3+{\frac {10835}{62351}}\qquad (3{,}1416349<\pi <3{,}1737743)}\)

Wilbur Knorr korrigierte zu:[20]

\({\displaystyle 3+{\frac {8915}{62991}}<\pi <3+{\frac {9552}{67441}}\qquad (3{,}1415281<\pi <3{,}1416349)}\)

4. bis 15. Jahrhundert

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit des Stillstandes nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an \({\displaystyle \pi }\) erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler.

Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704 sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,1416.[21]

Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl \({\displaystyle 3{,}1415926<\pi <3{,}1415927}\), also die ersten 7 Dezimalstellen. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch \({\displaystyle {\tfrac {355}{113}}}\) (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von \({\displaystyle \pi }\)), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt). Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck auf sechs Dezimalstellen genau.

In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3×228-Eck \({\displaystyle 2\pi }\) bereits auf 16 Stellen genau.[22]

16. bis 19. Jahrhundert

In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von \({\displaystyle \pi }\) zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens[23] für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen \({\displaystyle 2^{62}}\)-Eck fort. Der Name Ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener \({\displaystyle 2^{n}}\)-Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für \({\displaystyle \pi }\) in Form eines unendlichen Produktes ab:

\({\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots }\)

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

\({\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots }\)

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

\({\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}\)

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

\({\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \dotsb }\)

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen \({\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}}\) auch ein Spezialfall (\({\displaystyle \theta =1}\)) der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren fand:

\({\displaystyle \arctan \theta ={\frac {\theta ^{1}}{1}}-{\frac {\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\theta ^{5}}{5}}-{\frac {\theta ^{7}}{7}}\pm \dotsb }\)

Sie war in der folgenden Zeit Grundlage vieler Approximationen von \({\displaystyle \pi }\), die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.

Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelt Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von \({\displaystyle \pi }\) bestimmte.

„Let \({\displaystyle \alpha =2{\sqrt {3}}.}\) […] Then \({\displaystyle \alpha -{\frac {1}{3}}{\frac {3\alpha }{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\alpha }{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3\alpha }{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {\alpha }{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3\alpha }{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {\alpha }{9^{3}}},}\) &c.“[5]

Ebenfalls im Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von \({\displaystyle \pi }\). Seine Gleichung

\({\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}\)

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arkustangensfunktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich im Reellen über das Additionstheorem des Arkustangens gewinnen, einfacher geht es durch Betrachtung des Argumentes der komplexen Zahl

\({\displaystyle (5+\mathrm {i} )^{4}\cdot (239-\mathrm {i} )=114244+114244\;\mathrm {i} =(1+\mathrm {i} )\cdot 114244.}\)

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von Carl Størmer (1896):

\({\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\,\arctan {\frac {1}{57}}+7\,\arctan {\frac {1}{239}}-12\,\arctan {\frac {1}{682}}+24\,\arctan {\frac {1}{12943}},}\)

was gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl

\({\displaystyle (57+\mathrm {i} )^{44}\cdot (239+\mathrm {i} )^{7}\cdot (682-\mathrm {i} )^{12}\cdot (12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n}\) mit \({\displaystyle n\in \mathbb {Z} }\)

gleich sind.[A 6]

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande \({\displaystyle \pi }\) bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

\({\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}\)
\({\displaystyle \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \dotsc }\)
\({\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\dotsb }\)
\({\displaystyle {\frac {\pi -3}{4}}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}\mp \dotsb }\)

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

\({\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\textstyle {\frac {6^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}}}\)

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich im Mittel etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen relativ hoch ist.

Numerische Verfahren ab dem 20. Jahrhundert

Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von \({\displaystyle \pi }\) gestatten.

1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:

\({\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!\cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4}\cdot 396^{4n}}}}\)

Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:

Iterationen ergibt Ausdruck entspricht dezimal (falsche Ziffern in rot)
\({\displaystyle n=0}\) \({\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {9\;801}{4\;412}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;{\color {red}730\ldots }}\)
\({\displaystyle n=0\ldots 1}\) \({\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;510\;613\;731\;736}{1\;130\;173\;253\;125}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;{\color {red}877\ldots }}\)
\({\displaystyle n=0\ldots 2}\) \({\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;286\;635\;172\;367\;940\;241\;408}{1\;029\;347\;477\;390\;786\;609\;545}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;64{\color {red}9\ldots }}\)
\({\displaystyle n=0\ldots 3}\) \({\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\frac {17\;252\;765\;328\;978\;109\;815\;564\;789\;153\;792}{7\;766\;473\;062\;254\;307\;011\;793\;347\;201\;855}}}\) \({\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\;5{\color {red}55\ldots }}\)

Es wird also die Wurzel aus 2 mit immer „längeren“ Brüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.

Chudnovsky-Algorithmus

Effizientere Verfahren wurden mit der Entwicklung von Computern mit Langzahlarithmetik interessant, weil dadurch der reine Rechenaufwand immer weniger ins Gewicht fiel und komplizierte Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz praktisch durchführbar wurden.[24]

Der 1988 veröffentlichte Chudnovsky-Algorithmus ist das schnellste derzeit bekannte Verfahren und wurde in allen aktuellen Rekordberechnungen eingesetzt. Er wurde aus dem Ramanujan-Ansatz entwickelt, arbeitet jedoch etwa 50 Prozent schneller, und basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:

\({\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\cdot (6k)!\cdot (545140134k+13591409)}{(3k)!\cdot (k!)^{3}\cdot 640320^{3k+3/2}}}.\!}\)

Eine technische Implementation beider Iterationsverfahren (Ramanujan und Chudnovsky) bietet die Software y-cruncher.

BBP-Reihen

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für \({\displaystyle \pi }\):

\({\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{k}}}\left({\dfrac {4}{8k+1}}-{\dfrac {2}{8k+4}}-{\dfrac {1}{8k+5}}-{\dfrac {1}{8k+6}}\right)}\)

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die \({\displaystyle n}\)-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von \({\displaystyle \pi }\) zu berechnen, ohne dass zuvor die \({\displaystyle n-1}\) vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für \({\displaystyle \pi }\) weitere BBP-Reihen gefunden:

\({\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}\)

Tröpfelalgorithmus

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von \({\displaystyle \pi }\) fand Stanley Rabinowitz.[25] Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von \({\displaystyle \pi }\) gefunden worden.

Methode von Gauß, Brent und Salamin

Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung.[26] Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von \({\displaystyle \pi }\):

\({\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=\mathrm {AGM} (1,{\sqrt {2}})\int _{0}^{1}{\frac {2\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}.}\)

Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann

\({\displaystyle \pi ={\frac {4\mathrm {AGM} (1,{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}}}\)

wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration

\({\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\qquad b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}}\)

mit zwei initialen Argumenten \({\displaystyle a_{0},b_{0}>0}\) berechnet, und \({\displaystyle c_{n}^{2}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}}\) gesetzt wird.[27]

Nichtnumerische Berechnungsverfahren


Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass \({\displaystyle \pi }\) in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius \({\displaystyle r}\) lautet

\({\displaystyle A_{K}=\pi r^{2}}\),

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge \({\displaystyle 2r}\) errechnet sich als

\({\displaystyle A_{Q}=(2r)^{2}}\).

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

\({\displaystyle {\frac {A_{K}}{A_{Q}}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}\).

Damit lässt sich \({\displaystyle \pi }\) als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:

\({\displaystyle \pi =4\,{\frac {A_{K}}{A_{Q}}}}\).

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der \({\displaystyle \pi }\) näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von \({\displaystyle \pi }\) hängt von der Gitterweite ab und wird mittels \({\displaystyle r}\) kontrolliert. Mit \({\displaystyle r=10}\) erhält man z. B. 3,16 und mit \({\displaystyle r=100}\) bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon \({\displaystyle r=10000}\) zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

 r = 10000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = r ^ 2
 for i = 0 to r - 1
   x = i + 0.5
   for j = 0 to r - 1
     y = j + 0.5
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       kreistreffer = kreistreffer + 1
 return 4 * kreistreffer / quadrattreffer

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes \({\displaystyle r}\) marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Alternatives Programm

Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen
\({\displaystyle y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\) und \({\displaystyle \pi ={\frac {A_{K}}{r^{2}}}}\) sowie \({\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}\).

n := 1000000 // Halbe Anzahl der Streifen
s := 0       // Summe der Flächeninhaltefor x := -1 to +1 step 1/n:
    // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.
    // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.
    // Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte.
    // Der Faktor 1/n ist die Breite des Streifens.
    s += 2 * sqrt(1 - x*x) * 1/npi := s

Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von \({\displaystyle -1}\) bis \({\displaystyle +1}\). Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten \({\displaystyle 0,0}\) hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von \({\displaystyle -1}\) bis \({\displaystyle +1}\). Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf. Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich \({\displaystyle 1/n}\). Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu \({\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}\), im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben. Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.

Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1. Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel \({\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}\) noch durch \({\displaystyle r^{2}}\) geteilt werden. In diesem Beispiel ist \({\displaystyle r=1}\), daher ist das im Programmcode weggelassen.

Statistische Bestimmung

Berechnung mit einem Monte-Carlo-Algorithmus

Eine Methode zur Bestimmung von \({\displaystyle \pi }\) ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist \({\displaystyle \approx {\tfrac {\pi }{4}}.}\)

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von \({\displaystyle \pi }\) lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:

function approximiere_pi(tropfenzahl)    innerhalb := 0   // Zählt die Tropfen innerhalb des Kreises    // So oft wiederholen, wie es Tropfen gibt:
    for i := 1 to tropfenzahl do        // Zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen
        x := random(0.0 ..< 1.0)
        y := random(0.0 ..< 1.0)        // Wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt ...
        if x * x + y * y <= 1.0
            innerhalb++   // Zähler erhöhen    return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl

Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde. Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden. Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1733 vorgetragen, 1777 veröffentlicht). Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen aber konstanten Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl \({\displaystyle N}\) der Nadelwürfe durch die Zahl \({\displaystyle P}\) der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt

\({\displaystyle {\frac {N}{P}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {d}{\ell }}}\),

wobei \({\displaystyle \ell }\) die Länge der Nadeln und \({\displaystyle d}\) den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für \({\displaystyle \pi }\).[28] Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von \({\displaystyle \pi =3{,}1596\pm 0{,}0518}\).[29]

Rekorde der Berechnung von π


durchgeführt von Jahr Dezimalstellen Methode / Hilfsmittel Rechenzeit
Archimedes ca. 250 v. Chr. 2 96-Eck
Liu Hui nach 263 5 3072-Eck
Zu Chongzhi ca. 480 6
Dschamschid Masʿud al-Kaschi ca. 1424 15 3 · 228-Eck
Ludolph van Ceulen 1596 20
Ludolph van Ceulen 1610 35 262-Eck
William Jones[5]
John Machin
1706 100 Reihenentwicklungen
William Jones: Es sei \({\displaystyle \alpha =2{\sqrt {3}},}\) dann ist
 \({\displaystyle \pi =\alpha -{\frac {1}{3}}{\frac {3\alpha }{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\alpha }{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3\alpha }{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {\alpha }{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3\alpha }{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {\alpha }{9^{3}}}\ldots }\)
John Machin:
 \({\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\dotsm }\)
Jurij Vega 1794 126
William Shanks 1853 (527) Reihenentwicklung von \({\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{5}}}\) und \({\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{239}}}\).
Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von \({\displaystyle \pi }\) von Hand.
Im Jahr 1945 entdeckte John W. Wrench, dass die letzten 180 Stellen falsch waren.
Levi B. Smith, John W. Wrench 1949 1.120 mechanische Rechenmaschine
G. Reitwiesner[30] 1949 2.037 mit dem Röhren-Rechner ENIAC 70 h
S.C. Nicholson, J. Jeenel[31][32] 1954 3.093 Naval Ordnance Research Calculator 0:13 h
George E. Felton 1957 7.480 Pegasus 33 h
F. Genuys[30] 1958 10.000 mit dem Magnetkernspeicher-Rechner IBM 704, per Machin-Formel 10 h
George E. Felton 1958 10.021 Pegasus 33 h
Jean Guilloud 1959 16.167 IBM 704 4:18 h
Daniel Shanks, John W. Wrench[30] 1961 100.265 mit dem Transistoren-Computer IBM 7090 8:43 h
Jean Guilloud, J. Filliatre 1966 250.000 IBM 7030 41:55 h
Jean Guilloud, M. Dichampt 1967 500.000 CDC 6600 28:10 h
Jean Guilloud, Martin Boyer 1973 1.001.250 CDC 7600 23:18 h
Kazunori Miyoshi, Yasumasa Kanada 1981 2.000.036 FACOM M-200 137:18 h
Jean Guilloud 1981 2.000.050
Yoshiaki Tamura 1982 2.097.144 MELCOM 900II 7:14 h
Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada 1982 4.194.288 HITAC M-280H 2:21 h
Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada 1982 8.388.576 HITAC M-280H 6:52 h
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura 1982 16.777.206 HITAC M-280H <30 h
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo 1987 134.217.700
David und Gregory Chudnovsky 1989 1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1997 51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1999 206.158.430.000
Yasumasa Kanada 2002 1.241.100.000.000 Berechnung:
 \({\displaystyle \pi =48\arctan {\tfrac {1}{49}}+128\arctan {\tfrac {1}{57}}-20\arctan {\tfrac {1}{239}}+48\arctan {\tfrac {1}{110443}}}\)
Verifikation:[33]
 \({\displaystyle \pi =176\arctan {\tfrac {1}{57}}+28\arctan {\tfrac {1}{239}}-48\arctan {\tfrac {1}{682}}+96\arctan {\tfrac {1}{12943}}}\)
Daisuke Takahashi 2009 2.576.980.370.000 Berechnung: Gauß-Legendre-Algorithmus
Fabrice Bellard[34][35] 2010 2.699.999.990.000 Berechnung: TachusPi Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Bellards Formel) 131 Tage
Shigeru Kondo, Alexander Yee[36][37] 2010 5.000.000.000.000 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes und Bellards Formel) 090 Tage
Shigeru Kondo, Alexander Yee[38] 2011 10.000.000.000.050 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes und Bellards Formel) 191 Tage
Shigeru Kondo, Alexander Yee[39] 2013 12.100.000.000.050 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Bellards Formel) 082 Tage
Sandon Van Ness (Houkouonchi)[40][41] 2014 13.300.000.000.000 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Bellards Formel) 208 Tage
Peter Trüb[40][42] / DECTRIS[43] 2016 22.459.157.718.361 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Bellards Formel) 105 Tage
Emma Haruka Iwao / Google LLC[44][45] 2019 31.415.926.535.897 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes und Bellards Formel) 121 Tage
Timothy Mullican[46][47] 2020 50.000.000.000.000 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes und Bellards Formel) 303 Tage
FH Graubünden[48][49] 2021 62.831.853.071.796 Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes und Bellards Formel) 108 Tage

Geometrische Konstruktionen


Aufgrund der Transzendenz von \({\displaystyle \pi }\) ist es nicht möglich, durch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der exakten Länge von \({\displaystyle \pi }\) Längeneinheiten zu erstellen. Es existieren jedoch sowohl eine Reihe von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen, die sehr gute Näherungen liefern, als auch Konstruktionen, die dank eines weiteren Hilfsmittels – zusätzlich zu Zirkel und Lineal – eine exakte Konstruktion ermöglichen. Als ein solches weiteres Hilfsmittel kommen dabei insbesondere als Quadratrizes bezeichnete Kurven zum Einsatz, die z. B. mit Hilfe einer sogenannten Dynamischen-Geometrie-Software (DGS) erzeugt und als Ausdruck u. a. auf Papier Verwendung finden. Zudem gibt es einige spezielle mechanische Zeichengeräte und eventuell eigens angefertigte Kurvenlineale mit denen sich solche Kurven zeichnen lassen.

Näherungskonstruktionen

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl \({\displaystyle \pi }\) gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann.[50] Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

143 Jahre später, nämlich 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert[51]

\({\displaystyle 5\cdot {\sqrt {\frac {439}{278}}}=6{,}28318528\ldots }\)

Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\) übereinstimmen:

\({\displaystyle 3{,}141\;592\;6{\color {red}40\;1\ldots }\;\approx \pi }\)

Bei einem Kreis mit Radius \({\displaystyle r=1}\) ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks \({\displaystyle AEM}\), mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.

Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl \({\displaystyle \pi .}\)

Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:

“ *) Es wird dem Leser leicht sein, die Figur nach der Beschreibung zu entwerfen.”

C. G. Specht: 40. Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges.[51]

Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.[51]

Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt \({\displaystyle A}\) und dann ab \({\displaystyle A}\) eine gerade Linie; dabei ergibt sich \({\displaystyle a}\). Anschließend wird in \({\displaystyle A}\) eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt \({\displaystyle M}\). Es folgen auf der Geraden ab \({\displaystyle a}\) hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius \({\displaystyle {\overline {Aa}}}\) jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte \({\displaystyle m,p,q}\) und \({\displaystyle B}\). Nach der Dreiteilung der Strecken \({\displaystyle {\overline {mp}}}\) in \({\displaystyle n}\) und \({\displaystyle o}\) sowie \({\displaystyle {\overline {qB}}}\) in \({\displaystyle r}\) und \({\displaystyle s}\), wird nun der Punkt \({\displaystyle M}\) mit \({\displaystyle m}\) verbunden. Die dabei entstandene Strecke \({\displaystyle {\overline {Mm}}}\) auf die Senkrechte ab \({\displaystyle A}\) abgetragen ergibt \({\displaystyle R}\). Verbinde auch den Punkt \({\displaystyle R}\) mit \({\displaystyle r}\) und übertrage die neue Strecke \({\displaystyle {\overline {Rr}}}\) ab \({\displaystyle A}\) auf die Senkrechte; es ergibt sich \({\displaystyle C}\). Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte \({\displaystyle C}\) mit \({\displaystyle o}\) sowie \({\displaystyle C}\) mit \({\displaystyle B}\). Beim Übertragen der Strecke \({\displaystyle {\overline {AB}}}\) auf die Strecke \({\displaystyle {\overline {Co}}}\) ab \({\displaystyle C}\) ergibt sich \({\displaystyle c}\). Abschließend zeichne ab \({\displaystyle c}\) eine Parallele zur Strecke \({\displaystyle {\overline {AB}}}\), die \({\displaystyle {\overline {CB}}}\) in \({\displaystyle d}\) schneidet. Die somit entstandene Strecke \({\displaystyle {\overline {Cd}}}\) entspricht annähernd dem Wert \({\displaystyle 2\pi }\).

Die Annäherung an die Kreiszahl \({\displaystyle \pi ={\tfrac {U}{d}}}\) kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:

Wäre der Durchmesser \({\displaystyle d}\) eines Kreises \({\displaystyle 100\;\mathrm {km} }\), würde sein angenäherter Umfang \({\displaystyle U=d\pi }\) nur um ca. \({\displaystyle 2{,}7\;\mathrm {mm} }\) kürzer als sein theoretischer Wert sein.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\) als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.

Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt \({\displaystyle A}\) und einer Senkrechten auf diese Gerade durch \({\displaystyle A}\). Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius \({\displaystyle r=1}\) um \({\displaystyle A}\) gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte \({\displaystyle B,D}\) und \({\displaystyle E}\). Nun konstruiert man das Quadrat \({\displaystyle ABCD}\) mit der Seitenlänge 1. Es folgt die Konstruktion der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der x-Achse, mit der Parameterkurve \({\displaystyle \gamma \colon (-\pi ,\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}\):[52][53]

\({\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}\)

mit

\({\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}t\cot(t)\,&,t\in (-\pi ,\pi )\setminus \{0\}\\{\frac {2}{\pi }}\,&,t=0\end{cases}}\\y(t)&={\frac {2}{\pi }}t\end{aligned}}}\)

Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite \({\displaystyle {\overline {AB}}}\) ihres zugehörigen Quadrates im Punkt \({\displaystyle F}\) und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert \({\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}\). Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke \({\displaystyle {\overline {AB}}}\) ab \({\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}\) bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt \({\displaystyle G}\). Nach der Verlängerung der Strecke \({\displaystyle {\overline {BC}}}\) über \({\displaystyle C}\) hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab \({\displaystyle A}\) durch \({\displaystyle G}\) bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt \({\displaystyle H}\). Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke \({\displaystyle {\overline {AH}}}\) mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass \({\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}}\) der Strecke \({\displaystyle {\overline {AF}}}\) entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte

\({\displaystyle |AF|:|AB|=|AG|:|AH|,}\)

umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich

\({\displaystyle |AH|={\frac {\frac {1}{1}}{\frac {2}{\pi }}}\cdot 1={\frac {\pi }{2}}.}\)

Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius \({\displaystyle {\overline {AH}}}\) um \({\displaystyle A}\) bis auf die Zahlengerade gezogen; es entsteht der Schnittpunkt \({\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}\). Der abschließende Thaleskreis über \({\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}\) ab dem Punkt \({\displaystyle A}\) ergibt somit exakt die Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\).

Archimedische Spirale als zusätzliches Hilfsmittel

Eine sehr einfache Konstruktion der Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\) zeigt das nebenstehende Bild, erzeugt mithilfe der archimedischen Spirale.

Parameterdarstellung einer archimedischen Spirale:

\({\displaystyle x=a(\varphi )\cos \varphi ,\;\;y=a(\varphi )\sin \varphi }\)

Nach dem Einzeichnen der \({\displaystyle x}\)- und \({\displaystyle y}\)-Achse eines kartesischen Koordinatensystems erzeugt man im Koordinatenursprung \({\displaystyle O}\) eine archimedische Spirale mit der Parameterkurve:

\({\displaystyle f:{\begin{aligned}x=2\varphi \cos(\varphi )\\y=2\varphi \sin(\varphi )\end{aligned}}}\) \({\displaystyle {\Biggr \}}}\) \({\displaystyle 0\leq \varphi \leq 2\pi ,}\)

mit \({\displaystyle a=2}\) wird der Drehwinkel der Spirale \({\displaystyle \varphi =\pi .}\)[54]

Die Spirale schneidet die \({\displaystyle y}\)-Achse in \({\displaystyle B}\) und liefert somit bereits nach einer Vierteldrehung \({\displaystyle {\overline {OB}}=\pi .}\)

Der auf die \({\displaystyle y}\)-Achse projizierte Halbkreis mit Radius \({\displaystyle r=1}\) sowie die Strecke \({\displaystyle {\overline {OC}}=\pi }\) (grüne Linien) dienen lediglich der Verdeutlichung des Ergebnisses.

Experimentelle Konstruktion


Die folgende Methode nutzt die in der Kreisfläche „versteckte“ Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\), um mit Hilfe experimenteller Physik den Wert von \({\displaystyle \pi }\) als messbare Größe darzustellen.[55]

Ein Zylinder mit dem Radius \({\displaystyle r=1}\) und der Gefäßhöhe \({\displaystyle h_{GZ}\approx 1{,}5}\) wird bis auf die Höhe \({\displaystyle h_{Z}=1}\) mit Wasser gefüllt. Die so bestimmte Wassermenge wird nun vom Zylinder in einen Quader umgefüllt, der eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge \({\displaystyle a=1}\) und eine Gefäßhöhe von \({\displaystyle h_{GQ}\approx 4}\) aufweist.

Wassermenge im Zylinder \({\displaystyle V_{Z}}\) in Volumeneinheiten [VE]:

\({\displaystyle V_{Z}=r^{2}\pi h_{Z}=1^{3}\cdot \pi =3{,}14159\dotso \,\mathrm {[VE]} }\)[56]

Wasserstand im Quader \({\displaystyle h_{\text{Q}}}\) in Längeneinheiten [LE]:

\({\displaystyle V_{Q}=a^{2}h_{Q}=1^{2}h_{Q}=V_{Z}}\), daraus \({\displaystyle h_{Q}}\)[57]
\({\displaystyle h_{Q}={\frac {1^{3}\pi }{1^{2}}}=\pi =3{,}14159\dotso \,\mathrm {[LE]} }\)

Das Ergebnis zeigt: Eine Wassermenge, die in einem Zylinder mit dem Radius \({\displaystyle r=1}\) den Wasserstand \({\displaystyle 1\;\mathrm {[LE]} }\) hat, liefert – umgefüllt in den Quader – den Wasserstand \({\displaystyle \pi \,\mathrm {[LE]} }\).

Formeln und Anwendungen


Formeln, die π enthalten

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von \({\displaystyle \pi }\) als Kreiszahl unmittelbar hervor.

Formeln der Analysis

Im Bereich der Analysis spielt \({\displaystyle \pi }\) ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

Formeln der Funktionentheorie

Wie für alle Teilgebiete der Analysis ist auch für die Funktionentheorie (und darüber hinaus für die gesamte komplexe Analysis) die Kreiszahl von grundlegender Bedeutung. Als herausragende Beispiele sind hier

zu nennen sowie

Darüber hinaus wird die Bedeutung der Kreiszahl ebenfalls augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen, die im Zusammenhang mit dem Satz von Mittag-Leffler stehen. Hier sind vor allem

\({\displaystyle {\begin{aligned}\pi \cot(\pi z)&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z+n}}\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z-n}}+{\frac {1}{z+n}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\\&=z\cdot \sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\end{aligned}}}\)

zu erwähnen sowie die daraus – neben weiteren! – zu gewinnenden

\({\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\left({\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-{\tfrac {2n-1}{2}})^{2}}}\quad \left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {2n-1}{2}}\colon n\in \mathbb {Z} \right\}\right)\\\end{aligned}}}\)

Die obige Partialbruchreihe zum Sinus liefert dann durch Einsetzen von \({\displaystyle z={\frac {1}{2}}}\) die bekannte Reihendarstellung[65]

\({\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{8}}=1+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{49}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}},}\)

die ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

\({\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{6}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}\)

führt.

Neben diesen von den Partialbruchreihen herrührenden π-Formeln kennt die Funktionentheorie noch eine große Anzahl weiterer davon, die statt der Darstellung mit unendlichen Reihen eine Darstellung mittels unendlicher Produkte aufweisen. Viele von ihnen gehen auf das Werk von Leonhard Euler zurück (s. u.).

Formeln der Zahlentheorie

Formeln der Physik

In der Physik spielt \({\displaystyle \pi }\) neben

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort \({\displaystyle \pi }\) über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht; somit also zum Beispiel

außerdem

Produktformeln von Leonhard Euler

\({\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\pi }^{2}}{6}}&=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{2}}{{p_{k}}^{2}-1}}&={\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}\cdot {\frac {7^{2}}{7^{2}-1}}\cdot \;\dots &={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {9}{8}}\cdot {\frac {25}{24}}\cdot {\frac {49}{48}}\cdot \;\dots \\{\frac {{\pi }^{4}}{90}}&=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{4}}{{p_{k}}^{4}-1}}&={\frac {2^{4}}{2^{4}-1}}\cdot {\frac {3^{4}}{3^{4}-1}}\cdot {\frac {5^{4}}{5^{4}-1}}\cdot {\frac {7^{4}}{7^{4}-1}}\cdot \;\dots &={\frac {16}{15}}\cdot {\frac {81}{80}}\cdot {\frac {625}{624}}\cdot {\frac {2401}{2400}}\cdot \;\dots \\{\frac {{\pi }^{8}}{9450}}&=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{8}}{{p_{k}}^{8}-1}}&={\frac {2^{8}}{2^{8}-1}}\cdot {\frac {3^{8}}{3^{8}-1}}\cdot {\frac {5^{8}}{5^{8}-1}}\cdot {\frac {7^{8}}{7^{8}-1}}\cdot \;\dots &={\frac {256}{255}}\cdot {\frac {6561}{6560}}\cdot {\frac {390625}{390624}}\cdot {\frac {5764801}{5764800}}\cdot \;\dots \\\end{aligned}}}\)
Die erste der drei folgenden Formeln bezeichnet man auch als eulerschen Ergänzungssatz. Bei den beiden anschließenden Produktformeln für Sinus und Kosinus handelt es sich um absolut konvergente Produkte. Beide Produktformeln ergeben sich aus dem Ergänzungssatz, wobei die Produktformel des Kosinus ihrerseits wegen \({\displaystyle \cos(z)={\tfrac {\sin(2z)}{2\sin(z)}}}\) eine direkte Anwendung der Produktformel des Sinus ist.
\({\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)&={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\\sin(\pi z)&=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\cos(\pi z)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2k-1)^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}}\)
Die Produktformel des Sinus führt dann mit \({\displaystyle z=\mathrm {i} }\) zu dieser interessanten Beziehung (Folge A156648 in OEIS):[69]
\({\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}}}\right)&={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}&={\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}&\approx 3{,}6760779103749\\\end{aligned}}}\)

Sonstiges


Kuriositäten

Film, Musik, Kultur und Literatur

Pi-Sport

Das Memorieren der Zahl Pi ist die beliebteste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. So ist aus dem Lernen von Pi ein Sport geworden. Der Inder Rajveer Meena ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 70.000 Nachkommastellen, die er am 21. März 2015 fehlerfrei in einer Zeit von 10 Stunden aufsagte. Er wird im Guinness Book of Records als Rekordhalter geführt.

Der inoffizielle Weltrekord lag im Oktober 2006 bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält Jan Harms mit 9140 Stellen. Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach den Vorlieben und Begabungen des Gedächtniskünstlers sowie der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen.

Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme, dazu Pi-Sport-Merkregeln.

Alternative Kreiszahl τ

Der amerikanische Mathematiker Robert Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins The Mathematical Intelligencer vor, für \({\displaystyle \pi }\), statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend \({\displaystyle 2\pi }\)) als grundlegende Konstante zu verwenden.[73] Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor \({\displaystyle 2}\) vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass die neue Konstante im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie \({\displaystyle \pi }\) einen halben Winkel, und so weniger willkürlich wirkt. Die neu normierte Kreiszahl,[74] für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben \({\displaystyle \tau }\) (Tau) vorschlugen,[75] würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann \({\displaystyle \tau =2\pi =6{,}283185\ldots }\), also \({\displaystyle \pi ={\tfrac {\tau }{2}}}\).

Literatur


Weblinks


Commons: Pi  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Kreiszahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Anmerkungen


  1. Mathematisch streng gilt \({\displaystyle \pi >3{,}14}\).
  2. Einen einfachen Irrationalitätsbeweis lieferte im Jahre 1947 der Zahlentheoretiker Ivan Niven. (Ivan Niven: A simple proof that π is irrational. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 53, 1947, S. 509 (MR0021013 ).)
  3. Hier sind alle Teilzähler gleich 1.
  4. Hier sind alle Teilzähler gleich −1.
  5. Für weitere Details siehe die Webseite von Bailey .
  6. Dabei ist \({\displaystyle n=2{,}84438\dotso \cdot 10^{226}.}\)
  7. Die Euler-Identität wird als Kombination der Kreiszahl \({\displaystyle \pi }\), der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl \({\displaystyle e}\), der imaginären Einheit \({\displaystyle \mathrm {i} }\) und der beiden algebraischen Basisgrößen \({\displaystyle 0}\) und \({\displaystyle 1}\) als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.
  8. Das Lied auf YouTube mit Erklärung des Rhythmus in der Videobeschreibung, verfasst von einem der Gitarristen. Video auf YouTube.

Einzelnachweise


  1. Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Springer, 2019, S. 327 ff.
  2. Guilelmo [William] Oughtred: Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio. Rerum quarundam denotationes. In: BSB Bayerische StaatsBibliothek digital. Oughtred, William, Verlag: Lichfield, Oxoniae, 1663, S. 3, abgerufen am 21. August 2019 (Latein).
  3. William Oughtred: Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio. 1663. In: Clavis Mathematicae. Lichfield, Oxford 1667, S. 201–214, hier S. 203.
  4. Vgl. David Eugene Smith: History of Mathematics. Band 2. Dover, New York 1953, S. 312 (The Symbol \({\displaystyle \pi }\)).
  5. a b c William Jones: Synopsis Palmariorum Matheseos. Palmariorum Matheseos, S. 243, siehe Seitenmitte: „1/2 Periphery (\({\displaystyle \pi }\))“ mit Angabe des Verhältnisses von halbem Umfang zu Radius bzw. Umfang zu Durchmesser auf 100 Nachkommastellen genau. In: Göttinger Digitalisierungszentrum. J. Matthews, London, 1706, abgerufen am 19. August 2019 (englisch).
  6. William Jones: Synopsis Palmariorum Matheseos. Palmariorum Matheseos, S. 263, siehe unten: „3.14159, &c. = \({\displaystyle \pi }\) […] Whence in the Circle, any one of these three, [area] a, [circumference] c, [diameter] d, being given, the other two are found, as, d = c ÷ \({\displaystyle \pi }\) = (a ÷ 1/4 \({\displaystyle \pi }\))1/2, c = d × \({\displaystyle \pi }\) = (a × 4\({\displaystyle \pi }\))1/2, a = 1/4 \({\displaystyle \pi }\) × d2 = c2 ÷ 4\({\displaystyle \pi }\).“ In: Göttinger Digitalisierungszentrum. J. Matthews, London, 1706, abgerufen am 19. August 2019 (englisch).
  7. Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 8.
  8. Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 10, 203.
  9. Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 12. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11544-9, S. 150–151.
  10. Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 11.
  11. Johann Heinrich Lambert: Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung. Verlag des Buchladens der Realschule, 1770, S. 156, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  12. Peter Alfeld: pi to 10,000 digits. Department of Mathematics, University of Utah, 16. August 1996, abgerufen am 19. August 2019. Aufstellung der ersten 10 Millionen Stellen auf pibel.de (PDF; 6,6 MB).
  13. Shu-Ju Tu, Ephraim Fischbach: Pi seems a good random number generator – but not always the best. Purdue University, 26. April 2005, abgerufen am 19. August 2019.
  14. Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 194.
  15. Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 33, 220.
  16. Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 51–54.
  17. Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1: Grundlagen. R. Oldenbourg Verlag, München 1956, S. 87.
  18. Delahaye: π die Story. 1999, S. 211, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  19. Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi: Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer-Verlag, 1998, S. 117 f., eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  20. Wilbur R. Knorr: Archimedes and the Measurement of the Circle: A New Interpretation. Arch. Hist. Exact Sci. 15, 1976, S. 115–140.
  21. Jörg Arndt, Christoph Haenel: PI: Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8, S. 171.
  22. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 172.
  23. De ruzies van van Ceulen – Biografieën – Ludolph van Ceulen (1504–1610). Biographie van Ceulens.
  24. Richard P. Brent: Jonathan Borwein, Pi and the AGM. (PDF) Australian National University, Canberra and CARMA, University of Newcastle, 2017, abgerufen am 19. August 2019.
  25. Stanley Rabinowitz, Stan Wagon: A Spigot Algorithm for the Digits of Pi. In: American Mathematical Monthly. Vol. 102, Nr. 3, 1995. S. 195–203, (PDF; 250 kB). (Memento vom 28. Februar 2013 im Internet Archive).
  26. Markus Steinborn: DerSalamin/Brent Algorithmus (AGM), Seminarausarbeitung. (PDF) 3 Elliptische Integrale. Technische Universität Ilmenau, 2004, S. 5, abgerufen am 16. Mai 2020.
  27. Eugene Salamin: Computation of \({\displaystyle \pi }\) Using Arithmetic-Geometric Mean, Mathematics of Computation, Vol 30(135), 1976, S. 565–567.
  28. Ehrhard Behrends, Peter Gritzmann, Günter M. Ziegler: \({\displaystyle \pi }\) und Co., Kaleidoskop der Mathematik. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2, S. 157.
  29. Rudolf Wolf: Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur. F. Schulthess, Zürich 1890, Bd. 1, S. 128. (Digitalisat )
  30. a b c Calculation of \({\displaystyle \pi }\) to 100,000 Decimals , Mathematics of Computation, Bd. 16, 1962, S. 76–99, abgerufen am 29. November 2018 (englisch).
  31. Jean-Paul Delahaye: π — Die Story: Von handschriftlichen Rechnungen bis zum Zeitalter der Computer, Springer-Verlag 05.10.2013, S. 109. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  32. S.C. Nicholson, J. Jeenel: Some comments on a NORC computation of π. American Mathematical Society S.162–164 PDF , 1955, abgerufen am 12. September 2021.
  33. Yasumasa Kanada: Current publisized world record of pi calculation is as in the followings. In: Kanada Laboratory home page. 20. Oktober 2005, abgerufen am 1. Mai 2010 (englisch).
  34. Fabrice Bellard: TachusPI. bellard, abgerufen am 19. März 2020 (englisch).
  35. Fabrice Bellard: Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer. bellard, 11. Februar 2010, abgerufen am 19. März 2020 (englisch).
  36. Neuer Rekord: Tüftler und Student berechnen Pi auf fünf Billionen Ziffern. In: Spiegel Online. 5. August 2010, abgerufen am 5. Januar 2015.
  37. Alexander Jih-Hing Yee: 5 Trillion Digits of Pi - New World Record. numberworld, abgerufen am 19. März 2020.
  38. Alexander J. Yee, Shigeru Kondo: Round 2… 10 Trillion Digits of Pi. Auf: numberworld.org. 22. Oktober 2011.
  39. Alexander J. Yee, Shigeru Kondo: 12.1 Trillion Digits of Pi. Auf: numberworld.org. 6. Februar 2014.
  40. a b Pi. In: numberworld.org. 15. März 2019, abgerufen am 12. August 2019.
  41. Houkouonchi: 13.3 Trillion Digits of Pi. Auf: π-wissen.eu. 8. Oktober 2014.
  42. Peter Trüb: Der Schweizer, der 22,4 Billionen Dezimalstellen von Pi berechnet hat. In: NZZ.ch. Abgerufen am 21. März 2017.
  43. Home -> Success Stories – DECTRIS. In: dectris.com. Archiviert vom Original am 6. Dezember 2016; abgerufen am 6. Dezember 2016.
  44. Alexander J. Yee: Records set by y-cruncher. In: numberworld.org. 14. März 2019, abgerufen am 14. März 2019 (englisch).
  45. Jens Minor: Neuer Weltrekord: Google Cloud berechnet die Kreiszahl Pi auf 31,4 Billionen Stellen & macht sie frei zugänglich. In: GoogleWatchBlog. 14. März 2019, abgerufen am 14. März 2019.
  46. Timothy Mullican: Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record. In: Bits and Bytes | the ramblings of a sysadmin / cyber security professional. Timothy Mullican, 26. Juni 2019, abgerufen am 31. Januar 2020 (englisch).
  47. Alexander Yee: Records set by y-cruncher. In: numberworld.org. 30. Januar 2020, abgerufen am 31. Januar 2020 (englisch).
  48. Alexander J. Yee: Pi. In: numberworld.org/. 19. August 2021, abgerufen am 20. August 2021 (englisch).
  49. Pi-Challenge - Weltrekordversuch der FH Graubünden - FH Graubünden. In: Fachhochschule Graubünden - FH Graubünden. FH Graubünden, abgerufen am 20. August 2021.
  50. Dieter Grillmayer: 2. Die Näherungskonstruktion von Kochanski; Im Reich der Geometrie: Teil I: Ebene Geometrie, BoD – Books on Demand, 2009, S. 49 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche), abgerufen am 26. Februar 2020
  51. a b c C. G. Specht: 40. Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges. In: A. L. Crelle (Hrsg.): Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 3. G. Reimer, Berlin 1828, S. 405–406 (Digitalisat – digitalisiert vom SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum). Abgerufen am 11. Oktober 2020.
  52. Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner, 2003, S. 45–48: Die Quadratur des Kreises. (Auszug (Google) )
  53. Horst Hischer: Mathematik in der Schule. Geschichte der Mathematik … (PDF) (2). Lösung klassischer Probleme. In: (5) Probleme der Trisectrix. 1994, S. 283–284, abgerufen am 21. Februar 2017.
  54. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 (Auszug (Google) )
  55. Konstruktion von pi, Schwimmbadmethode. WIKIVERSITY, abgerufen am 19. Februar 2017.
  56. Arnfried Kemnitz: Gerade Kreiszylinder; Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge, Springer-Verlag, 2010, S. 155 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche), abgerufen am 24. Februar 2020.
  57. Arnfried Kemnitz: Parallelepiped und Würfel; Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge, Springer-Verlag, 2010, S. 153–154 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche), abgerufen am 24. Februar 2020.
  58. Weierstraß-Definition von \({\displaystyle \pi }\). In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  59. E. Freitag: Funktionentheorie 1. Springer Verlag, ISBN 3-540-31764-3, S. 87.
  60. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965, S. 120 ff.
  61. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965, S. 245–246.
  62. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964, ISBN 3-540-03138-3, S. 212–213.
  63. Konrad Knopp: Funktionentheorie II. Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (= Sammlung Göschen. Band 703). 11. Auflage. de Gruyter, Berlin 1965, S. 41–43.
  64. Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1982, ISBN 3-411-01613-2, S. 150 ff.
  65. Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6, S. 140.
  66. Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4, S. 230 ff. (Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum – Reprint der Ausgabe Berlin 1885).
  67. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964, ISBN 3-540-03138-3, S. 397–398, 454.
  68. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1 (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitet und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67641-4, S. 200–201.
  69. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964, ISBN 3-540-03138-3, S. 454.
  70. Petr Beckmann: History of Pi. St. Martin’s Press, 1974 ISBN 978-0-88029-418-8, S. 174–177 (englisch).
  71. tug.ctan.org
  72. Road Map. Abgerufen am 27. Juni 2020.
  73. Bob Palais: π is wrong! In: The Mathematical Intelligencer. Band 23, Nr. 3, 2001, Springer-Verlag, New York, S. 7–8. math.utah.edu (PDF; 144 kB).
  74. Ulrich Pontes: Revolution gegen die Kreiszahl: Physiker will Pi abschaffen. In: Spiegel online. 28. Juni 2011, abgerufen am 29. Juni 2011.
  75. Tauday / The Tau Manifesto , abgerufen am 16. April 2011. Bob Palais selbst schlug zunächst ein doppeltes π vor, siehe Homepage von Bob Palais an der University of Utah, , abgerufen am 15. April 2011.









Kategorien: Wikipedia:Exzellent | Besondere Zahl




Stand der Informationen: 22.11.2021 03:26:44 CET

Quelle: Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-BY-SA-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.

Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.