Integralexponentialfunktion - de.LinkFang.org

Integralexponentialfunktion




In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion \({\displaystyle \operatorname {Ei} (x)}\) als

\({\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}\)

definiert.

Da \({\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}\) bei \({\displaystyle t=0}\) divergiert, ist das obige Integral für \({\displaystyle x>0}\) als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung

\({\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln \left|x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}\ ,}\)

wobei \({\displaystyle \ln }\) der natürliche Logarithmus und \({\displaystyle \gamma }\) die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus \({\displaystyle \operatorname {li} (x)}\) verwandt, es gilt

\({\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)\quad 0<x\neq 1.}\)

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

\({\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.}\)

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

\({\displaystyle \operatorname {Ei} (-x)=-\operatorname {E} _{1}(x).}\)

Mithilfe der ganzen Funktion

\({\displaystyle \operatorname {Ein} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k!k}}}\)

lassen sich die anderen beiden als

\({\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)=-\gamma -\ln x+\operatorname {Ein} (x)}\)

bzw.

\({\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ein} (-x)}\)

darstellen.

Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion

\({\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}\)

Sie kann auch als

\({\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t\quad \Re (x)>0}\)

verallgemeinert werden.

Literatur


Weblinks










Kategorien: Analytische Funktion








Stand der Informationen: 04.07.2020 06:27:17 CEST

Quelle: Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.

Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.