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Imaginäre Zahl

Eine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nichtpositive reelle Zahl ist. Äquivalent dazu kann man die imaginären Zahlen als diejenigen komplexen Zahlen definieren, deren Realteil null ist.[1] Die Bezeichnung „imaginär“ wurde zuerst 1637 von René Descartes benutzt, allerdings für nichtreelle Lösungen von algebraischen Gleichungen.[2] Die imaginäre Einheit \mathrm {i} erlaubt die Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen zum Körper der komplexen Zahlen.

In der Elektrotechnik wird als Symbol statt \mathrm {i} ein \mathrm {j} benutzt, diese Bezeichnung geht auf Charles P. Steinmetz zurück.[3] Die Bezeichnung \mathrm {j} ist gemäß DIN 1302, DIN 5483-3 und ISO 80000-2 als Symbol erlaubt, um in Anwendungen wie der komplexen Wechselstromrechnung eine Verwechslung mit dem Momentanwert i(t) der Stromstärke zu vermeiden.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines


Mit imaginären Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, deren Lösungen keine reellen Zahlen sein können. Die Gleichung

x^{2}-1=0

hat zur Lösung zwei reelle Zahlen, −1 und +1.

Die Gleichung

x^2 + 1 = 0

hingegen kann keine reelle Lösung haben, da Quadrate reeller Zahlen niemals kleiner als 0 sind, also nie den Wert -1 annehmen können. Die Lösungen der Gleichung in den komplexen Zahlen sind +{\mathrm {i}} und -\mathrm{i}, zwei imaginäre Zahlen.

Eine Beschäftigung mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurde bei der Lösung von kubischen Gleichungen im Fall des Casus irreducibilis nötig.

Heute versteht man imaginäre Zahlen als spezielle komplexe Zahlen. Jede komplexe Zahl kann dargestellt werden als Summe einer reellen Zahl und eines reellen Vielfachen der imaginären Einheit \mathrm {i} , einer Zahl mit der Eigenschaft

{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1.}

Algebraisch wird \mathrm {i} definiert als eine Nullstelle des Polynoms x^2 + 1 und die komplexen Zahlen als die dadurch erzeugte Körpererweiterung. Die zweite Nullstelle ist dann -\mathrm{i}. Man kann die beiden Nullstellen aber erst unterscheiden, wenn man eine der beiden mit \mathrm {i} bezeichnet hat. Da man sie aber ohnehin nicht unterscheiden kann, spielt es keine Rolle, „welche“ Nullstelle man nun mit i bezeichnet. (Wird jedoch, wie üblich, der komplexe Zahlenbereich auf der Struktur des \mathbb {R} ^{2} definiert statt nur mit seiner Hilfe dargestellt, so kann man die möglichen Nullstellen sehr wohl unterscheiden und wählt naheliegenderweise {\displaystyle \mathrm {i} :=(0,1)^{\mathrm {T} }} statt des ebenso möglichen {\displaystyle \mathrm {i} :=(0,-1)^{\mathrm {T} }}.)

Alle komplexen Zahlen lassen sich in der Gaußebene darstellen, einer Erweiterung der reellen Zahlengeraden (siehe Abbildung rechts). Die komplexe Zahl {\displaystyle a+\mathrm {i} \cdot b} hat den Realteil a und den Imaginärteil b. Aufgrund der Rechenregeln komplexer Zahlen ist das Quadrat einer Zahl, deren Realteil gleich 0 ist, eine nichtpositive reelle Zahl:

(b\,{\mathrm i})^{2}=-b^{2}

Die imaginären Zahlen bilden eine Gerade, die durch die Zahl 0 geht und senkrecht auf der reellen Zahlengeraden steht. Sie sind reelle Vielfache der imaginären Einheit \mathrm {i} .

Eine weitergehende Beschreibung findet sich im Artikel über komplexe Zahlen.

Potenzen


Für die Potenzen von \mathrm {i} mit ganzzahligen Exponenten gilt

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} ^{4n}&=1\\\mathrm {i} ^{4n+1}&=\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{4n+2}&=-1\\\mathrm {i} ^{4n+3}&=-\mathrm {i} \\\end{aligned}}}

für alle n\in \Z, z. B.:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} ^{-1}&=-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{0}&=1\\\mathrm {i} ^{1}&=\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{2}&=-1\\\mathrm {i} ^{3}&=-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{4}&=1\end{aligned}}}

und {\displaystyle \mathrm {i} ^{2n}=(\mathrm {i} ^{2})^{n}=(-1)^{n}} für alle n\in \Z.

Zusammenhang


Erweiterungen stellen die hyperkomplexen Zahlen dar, die über die komplexen Zahlen hinausgehend mehrere imaginäre Einheiten aufweisen. Beispielsweise treten bei den vierdimensionalen Quaternionen drei imaginäre Einheiten auf, bei den achtdimensionalen Oktonionen gibt es sieben imaginäre Einheiten.

In der eulerschen Identität wird ein prägnanter, einfacher Zusammenhang der imaginären Einheit \mathrm {i} mit drei anderen grundlegenden mathematischen Konstanten hergestellt, nämlich mit der eulerschen Zahl \ {\mathrm {e}}, der Kreiszahl \ {\mathrm {\pi }} sowie der reellen Einheit 1:

{\displaystyle \;\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\pi }=-1}

Literatur


Weblinks


WikibooksWikibooks: Imaginäre und komplexe Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien
WikibooksWikibooks: Komplexe Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise


  1. Eric W. Weisstein: Imaginary Number. In: MathWorld (englisch).
  2. Helmuth Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. Bibliographisches Institut, Mannheim 1970, S. 66.
  3. Kurt Jäger, Friedrich Heilbronner: Lexikon der Elektrotechniker. 2. Auflage. VDE Verlag, 2010, ISBN 978-3-8007-2903-6, S. 418.



Kategorien: Zahl



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