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Hyperwürfel

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Hyperwürfel oder Maßpolytope sind n-dimensionale Analogien zum Quadrat (n=2) und zum Würfel (n=3). Dabei kann n eine beliebige natürliche Zahl sein. Der vierdimensionale Hyperwürfel wird auch als Tesserakt bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines Hyperwürfels ist die Hyperoktaedergruppe.

Inhaltsverzeichnis

Konstruktion regulärer Würfel


Reguläre Würfel der Kantenlänge a\neq 0 lassen sich wie folgt erzeugen:

HyperwürfelZeichnung.png

Grenzelemente


In einem Hyperwürfel der Dimension n befinden sich an jedem Knoten (Ecke) genau n Kanten. Demnach handelt es sich bei einem Hyperwürfel um einen ungerichteten Multigraph (siehe auch: Graphentheorie).

Der n-dimensionale Würfel wird von nulldimensionalen, eindimensionalen, …, {\displaystyle (n\!-\!1)}-dimensionalen Elementen begrenzt. Am Beispiel:

Der 3-dimensionale Würfel wird von Knoten (Punkten), Kanten (Strecken) und Flächen begrenzt, also von Elementen der Dimension 0,1 und 2.

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente lässt sich aus folgender Überlegung ableiten: Sei ein Hyperwürfel von der Dimension {\displaystyle n\!+\!1} gegeben. Die k-dimensionalen Grenzelemente dieses Würfels (k_{{n+1}}) lassen sich folgendermaßen aus den Grenzelementen eines n-dimensionalen Hyperwürfels erzeugen: Die k-dimensionalen Grenzelemente (k_{{n}}) verdoppeln sich und alle {\displaystyle k\!-\!1} dimensionalen Elemente {\displaystyle (k\!-\!1)_{n}} werden zu k-dimensionalen erweitert. Somit ergibt sich in der Summe eine Anzahl von k_{{n+1}}=2k_{{n}}+(k-1)_{{n}}.

Beispiel

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen n-dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem k-dimensionalen Grenzelement k Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von k Koordinatenachsen nicht nur ein k-dimensionales Grenzelement, sondern {\displaystyle 2^{n-k},} weil man durch jede der n-k zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt dieselben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten, k Achsen aus den n Achsen auszuwählen, mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit {\displaystyle {\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}} (mit dem Binomialkoeffizienten {\binom {n}{k}}).

  Schläfli-
Symbol
Anzahl der Grenzelemente
0-dim. 1-dim. 2-dim. 3-dim. 4-dim. \ldots {\displaystyle (n\!-\!1)}-dim. n-dim.
Punkt () 1
Strecke \{\} 2 1
Quadrat {\displaystyle \{4\}} 4 4 1
3-dim. Würfel {\displaystyle \{4,3\}} 8 12 6 1
4-dim. Würfel {\displaystyle \{4,3,3\}} 16 32 24 8 1
\vdots
n-dim.
Würfel
{\displaystyle \{4,3^{n-2}\}} 2^{n} n2^{{n-1}} {\displaystyle {\binom {n}{2}}2^{n-2}} {\displaystyle {\binom {n}{3}}2^{n-3}} \ldots \ldots {\displaystyle {\binom {n}{n-1}}2^{1}=2n} {\displaystyle {\binom {n}{n}}2^{0}=1}

Jedes k-dimensionale Grenzelement eines n-dimensionalen Würfels der Kantenlänge a ist für {\displaystyle 0<k\leq n} ein k-dimensionaler Würfel derselben Kantenlänge a. Damit hat ein 4-Hyperwürfel 16 Ecken, ein Kantennetz der Länge {\displaystyle 32a}, ist begrenzt von einem Flächennetz der Gesamtfläche {\displaystyle 24a^{2}} und von Zellen mit dem 3-Gesamtvolumen (der 3-dimensionalen Hyperfläche) von {\displaystyle 8a^{3}} und hat ein 4-Volumen von {\displaystyle a^{4}}.

Eigenschaften


Der Name Maßpolytop kommt von der Möglichkeit, das Objekt parallel zu allen Koordinatenachsen auszurichten und den euklidischen Raum durch parallele Vervielfältigung restlos auszufüllen. Es ist das einzige regelmäßige Polytop, mit dem dies in Dimensionen n>4 gelingt. Für jede Dimension sind diese Parkettierungen selbstdual mit dem Schläfli-Symbol {\displaystyle \{4,3^{n-2},4\}.}

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimension multipliziert mit seiner Kantenlänge.

Maßpolytop (oder Hyperwürfel) und Kreuzpolytop (oder Hyperoktaeder) sind zueinander dual. Daher stimmen auch ihre Symmetriegruppen überein.

winkeltreue Projektion in mögliche Operationen[1]
Dimension Objekt 2-D 3-D 4-D schieben drehen winden stülpen
0 Punkt + + +
1 Linie + + + +
2 Quadrat + + + + +
3 Würfel + + + + +
4 Tesserakt + + + + +
Dimension Kanten Knoten Seiten Grad Durchmesser Kanten-Zusammenhang Knoten-Zusammenhang
1 1 2 2 1 1 1 1
2 4 4 4 2 2 2 2
3 12 8 6 3 3 3 3
4 32 16 8 4 4 4 4
... ... ... ... ... ... ... ...
n 2^{{(n-1)}}\cdot n 2^{n} 2n n n n n

Kunstanwendungen


Bildende Kunst

In der Bildenden Kunst beschäftigen sich viele Künstler mit dem Hyperwürfel.

Hyperwürfel in der Popkultur


Siehe auch


Weblinks


Einzelnachweise


  1. Die Bewegungen eines Punktes innerhalb eines Hyperwürfels: schieben auf einer geraden Linie; drehen als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in einer Ebene; winden als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in drei Dimensionen; stülpen als Bewegung auf einer vierdimensional gekrümmten Bahn.
  2. Beispiel eines Dalígemäldes (Memento des Originals vom 23. Juli 2015 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
  3. Tesseract



Kategorien: Polytop



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