Hilbertscher Nullstellensatz


Der hilbertsche Nullstellensatz stellt in der Mathematik in der klassischen algebraischen Geometrie die zentrale Verbindung zwischen Idealen und affinen algebraischen Varietäten her. Er wurde von David Hilbert bewiesen.[1]

Inhaltsverzeichnis

Formulierungen des Satzes


Es gibt verschiedene äquivalente Varianten, den Nullstellensatz zu formulieren:

\({\displaystyle f^{r}=g_{1}\cdot f_{1}+\cdot \cdot \cdot +g_{m}\cdot f_{m}}\)
\({\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}\) für alle \({\displaystyle f\in {\mathfrak {a}}}\).
\({\displaystyle x}\) ist also eine gemeinsame Nullstelle aller Elemente von \({\displaystyle {\mathfrak {a}}}\). In dieser Formulierung ist es eine weitreichende Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra.
\({\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}=I(V({\mathfrak {a}}))}\)
Hierbei bedeutet
  • \({\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}}\) das Radikal von \({\displaystyle {\mathfrak {a}}}\),
  • \({\displaystyle V({\mathfrak {a}})\subseteq K^{n}}\) die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von \({\displaystyle {\mathfrak {a}}}\) (wie oben), und
  • \({\displaystyle I(X)}\) das Ideal aller Polynome, die auf \({\displaystyle X\subseteq K^{n}}\) verschwinden.
Die Inklusion \({\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {a}}}\subset I(V({\mathfrak {a}}))}\) ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von \({\displaystyle f(T)^{r}}\) ist auch Nullstelle von \({\displaystyle f(T)}\).

Bedeutung


Aus dem hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass die Abbildungen \({\displaystyle V}\) und \({\displaystyle I}\) für einen algebraisch abgeschlossenen Körper eine bijektive Beziehung zwischen affinen algebraischen Mengen in \({\displaystyle K^{n}}\) und Radikalidealen in \({\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}\) definieren. Diese lässt sich einschränken auf bijektive Beziehungen zwischen irreduziblen algebraischen Mengen und Primidealen sowie zwischen Punkten in \({\displaystyle K^{n}}\) und maximalen Idealen.

Affine Varietäten \({\displaystyle V}\) werden durch die Ideale \({\displaystyle I}\) definiert und die Nullstellen von \({\displaystyle I}\) definieren zugehörige (irreduzible affine) algebraische Mengen \({\displaystyle V}\). Der Nullstellensatz besagt dann, dass jede nichtleere affine Varietät \({\displaystyle V}\) einen algebraischen Punkt hat.

Eine effektive Version wurde von W. Dale Brownawell 1987 für Körper der Charakteristik Null und von János Kollár 1988 für beliebige Charakteristik bewiesen. Brownawell gab eine obere Schranke für die Grade der Polynome \({\displaystyle g_{i}}\) (vergleiche die erste Version oben), wobei diese exponentiell von der Anzahl der Variablen \({\displaystyle n}\) abhängt.

Weblinks


Einzelnachweise


  1. Hilbert, Ueber die vollen Invariantensysteme, Mathematische Annalen, Band 42, 1893, S. 313–337
  2. Formulierung des Satzes in V. Danilov, Hilbert's Nullstellen Satz , Encyclopedia of Mathematics, Springer
  3. Jacobson Ring, Encyclopedia of Mathematics, Springer
Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hilbertscher_Nullstellensatz&oldid=223018122

Navigationsmenü


<



Facebook Twitter WhatsApp Telegram E-Mail





Kategorien: Kommutative Algebra | Satz (Algebraische Geometrie) | David Hilbert als Namensgeber




Stand der Informationen: 23.05.2022 09:10:09 CEST

Quelle: Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-BY-SA-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.

Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.