Harmonisches Mittel - de.LinkFang.org

Harmonisches Mittel

Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst.

Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen. Es war schon Pythagoras bekannt. Es ist der Spezialfall des Hölder-Mittels mit Parameter −1.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Das harmonische Mittel der Zahlen x_1,\dotsc,x_n ist als

{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{harm}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}}}

definiert. Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist

{\displaystyle {\frac {1}{{\bar {x}}_{\text{harm}}}}={\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}}

und somit das arithmetische Mittel der Kehrwerte.

Mit der Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von null verschiedene Zahlen x_{i} definiert. Geht aber einer der Werte x_{i} gegen null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich null ist.

Eigenschaften


Für zwei Werte a und b ergibt sich

{\displaystyle {\bar {x}}_{\text{harm}}={\frac {2ab}{a+b}}={\frac {{\bar {x}}_{\text{geom}}^{2}}{{\bar {x}}_{\text{arithm}}}}}

mit dem arithmetischen Mittel {\displaystyle {\bar {x}}_{\text{arithm}}} und dem geometrischen Mittel {\displaystyle {\bar {x}}_{\text{geom}}}.

Für nichtnegative x_{i} gilt

\min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar x}_{{{\text{harm}}}}\leq {\bar x}_{{{\text{geom}}}}\leq {\bar x}_{{{\text{arithm}}}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).

Beispiel


Für das harmonische Mittel von 5 und 20 gilt

{\frac {2}{{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}}}={\frac {2}{{\frac {1}{4}}}}=8.

Verwendet man die Formel aus dem Abschnitt Eigenschaften, so gilt

{\displaystyle {\frac {2\cdot 5\cdot 20}{5+20}}=8}.

Gewichtetes harmonisches Mittel


Definition

Sind den x_{i} positive Gewichte w_{i}>0 zugeordnet, so ist das gewichtete harmonische Mittel wie folgt definiert:

{\bar {x}}_{{\mathrm {harm}}}={\frac {w_{1}+\cdots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}

Sind alle w_{i} gleich, so erhält man das gewöhnliche harmonische Mittel.

Beispiel

Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke s_{1} die Zeit t_{1} (also Durchschnittsgeschwindigkeit v_{1}=s_{1}/t_{1}) und für die Teilstrecke s_{2} die Zeit t_{2} (also Durchschnittsgeschwindigkeit v_{2}=s_{2}/t_{2}), so gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke

v={\frac {s_{1}+s_{2}}{t_{1}+t_{2}}}={\frac {s_{1}+s_{2}}{{\frac {s_{1}}{v_{1}}}+{\frac {s_{2}}{v_{2}}}}}={\frac {t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}}{t_{1}+t_{2}}}

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: Fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66,67 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.

{\displaystyle v={\frac {100\ {\text{km}}+100\ {\text{km}}}{2\ {\text{h}}+1\ {\text{h}}}}={\frac {100\ {\text{km}}+100\ {\text{km}}}{{\frac {100\ {\text{km}}}{50\ {\text{km/h}}}}+{\frac {100\ {\text{km}}}{100\ {\text{km/h}}}}}}={\frac {2\ {\text{h}}\cdot 50\ {\text{km/h}}+1\ {\text{h}}\cdot 100\ {\text{km/h}}}{2\ {\text{h}}+1\ {\text{h}}}}={\frac {200}{3}}\ {\text{km/h}}\approx 66{,}67\ {\text{km/h}}}

Siehe auch


Weblinks





Kategorien: Mittelwert



Quelle: Wikipedia - https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonisches Mittel (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.


Stand der Informationen: 21.10.2019 12:39:34 CEST - Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.