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Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das \({\displaystyle p}\)-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent \({\displaystyle p}\) sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt \({\displaystyle H_{p}}\) wird auch \({\displaystyle M_{p}(x)}\), \({\displaystyle m_{p}(x)}\) oder \({\displaystyle \mu _{p}(x)}\) geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters \({\displaystyle p.}\)

Inhaltsverzeichnis

Definition


Für eine reelle Zahl \({\displaystyle p\neq 0}\) wird das Hölder-Mittel der Zahlen \({\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0}\) zur Stufe \({\displaystyle p}\) definiert als

\({\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}={\sqrt[{p}]{\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\ldots +x_{n}^{p}}{n}}}}\),

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen \({\displaystyle p}\) verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für \({\displaystyle p=0}\) ist

\({\displaystyle M_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\lim _{s\to 0}M_{s}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}\)

Eigenschaften


\({\displaystyle M_{p}(\alpha \,x_{1},\ldots ,\alpha \,x_{n})=\alpha \cdot M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})}\)
\({\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}\)
\({\displaystyle p<q\quad \Rightarrow \quad M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\ldots ,x_{n})}\)
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
\({\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}\)
\({\displaystyle {\bar {x}}(p)={\sqrt[{p}]{m_{p}}}}\)

Spezialfälle

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters \({\displaystyle p}\) ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

\({\displaystyle \lim _{p\to -\infty }}\) \({\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}\) \({\displaystyle =\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}\) Minimum
\({\displaystyle p=-1}\) \({\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})}\) \({\displaystyle ={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}\) Harmonisches Mittel
\({\displaystyle \lim _{p\to 0}}\) \({\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}\) \({\displaystyle ={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}\) Geometrisches Mittel
\({\displaystyle p=1}\) \({\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})}\) \({\displaystyle ={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}\) Arithmetisches Mittel
\({\displaystyle p=2}\) \({\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})}\) \({\displaystyle ={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}\) Quadratisches Mittel
\({\displaystyle p=3}\) \({\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})}\) \({\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}\) Kubisches Mittel
\({\displaystyle \lim _{p\to \infty }}\) \({\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}\) \({\displaystyle =\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}\) Maximum

Weitere Verallgemeinerungen


Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten \({\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}}\) mit \({\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}+\ldots +\omega _{n}=1}\) definieren als

\({\displaystyle {M_{\omega }}^{p}=\left(\omega _{1}\cdot x_{1}^{p}+\omega _{2}\cdot x_{2}^{p}+\ldots +\omega _{n}\cdot x_{n}^{p}\right)^{1/p},}\)

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel \({\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}=\ldots =\omega _{n}={\tfrac {1}{n}}}\) verwendet wird.

f-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

\({\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}\)

bzw. gewichtet zu

\({\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\sum _{i=1}^{n}{\omega _{i}f(x_{i})}}\right)}\)

Dabei ist \({\displaystyle f}\) eine Funktion von \({\displaystyle x}\); das Hölder-Mittel verwendet \({\displaystyle \,f(x)=x^{p}}\).

Weitere Beispiele:

Siehe auch


Literatur


Weblinks





Kategorien: Mittelwert

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