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Höhe (Geometrie)



Unter einer Höhe \({\displaystyle h}\) versteht man in der Geometrie ein besonderes Lot (Senkrechte) auf eine Strecke oder eine Fläche sowie dessen Länge. Höhen spielen bei der Berechnung von Flächen- und Rauminhalten (Volumina) eine wichtige Rolle. Sie können auch außerhalb von Figuren und Körpern liegen, z. B. bei stumpfwinkligen Dreiecken.

Inhaltsverzeichnis

Höhen bei Dreiecken


Fällt man das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Dreiecksseite, so schneidet es diese Seite im Lotfußpunkt. Die Strecke zwischen Ecke und Lotfußpunkt nennt man Höhe und das von den drei Lotfußpunkten gebildete Dreieck wird auch als Höhenfußpunktdreieck bezeichnet. Jedes Dreieck besitzt genau drei Höhen. Diese schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Höhenschnittpunkt. Er liegt für spitzwinklige Dreiecke innerhalb und für stumpfwinklige Dreiecke außerhalb des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck fällt er mit der rechtwinkligen Ecke zusammen. Die Höhen eines Dreieck sind zudem die Winkelhalbierenden seines Höhenfußpunktdreiecks. Für die Höhen \({\displaystyle h_{a}}\), \({\displaystyle h_{b}}\) und \({\displaystyle h_{c}}\) in einem Dreieck mit Seiten \({\displaystyle a}\), \({\displaystyle b}\) und \({\displaystyle c}\) bezeichnen im Folgenden \({\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}\) den halben Dreiecksumfang, \({\displaystyle r,\,R}\) die Radien des In- und Umkreises und \({\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }\) die Innenwinkel in den Eckpunkten \({\displaystyle A,\,B,\,C}\). Zwischen den Seiten und Höhen des Dreieck besteht die folgende Beziehung:

\({\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}\)

Über diese Verhältnisgleichung hinaus gilt genauer:

\({\displaystyle {\begin{aligned}h_{a}&={\frac {bc}{2R}}=c\sin(\beta )=b\sin(\gamma )\\h_{b}&={\frac {ac}{2R}}=c\sin(\alpha )=a\sin(\gamma )\\h_{c}&={\frac {ab}{2R}}=b\sin(\alpha )=a\sin(\beta )\\\end{aligned}}}\)

Hieraus erhält man die folgende Darstellung des Produktes der drei Höhen:

\({\displaystyle h_{a}h_{b}h_{c}={\frac {(abc)^{2}}{8R^{3}}}}\)

Zum Radius des Inkreis besteht die Beziehung:

\({\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}\)

Bei rechtwinkligen Dreiecken spielt der Höhensatz des Euklid eine große Rolle.

Höhe von Trapez und Parallelogramm


Höhen weiterer geometrischer Objekte


Literatur


Weblinks


Wiktionary: Höhe – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikiquote: Höhe – Zitate



Kategorien: Ebene Geometrie | Euklidische Geometrie



Quelle: Wikipedia - https://de.wikipedia.org/wiki/Höhe (Geometrie) (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0


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