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Gruppe (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen.

Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra. Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik.[1]

Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie. Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften. Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.

Das Konzept der Gruppe entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren.[2] Nach Beiträgen aus anderen mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie und der Geometrie wurde der Begriff der Gruppe verallgemeinert. Um 1870 war er fest etabliert und wird heute in dem eigenständigen Gebiet der Gruppentheorie behandelt. Um Gruppen zu erforschen, haben Mathematiker spezielle Begriffe entwickelt, um Gruppen in kleinere, leichter verständliche Bestandteile zu zerlegen, wie z. B. Untergruppen, Faktorgruppen und einfache Gruppen. Neben ihren abstrakten Eigenschaften untersuchen Gruppentheoretiker auch Möglichkeiten, wie Gruppen konkret ausgedrückt werden können (Darstellungstheorie), sowohl für theoretische Untersuchungen als auch für konkrete Berechnungen. Eine besonders reichhaltige Theorie wurde für die endlichen Gruppen entwickelt, was 1983 in der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen gipfelte. Diese spielen für Gruppen eine vergleichbare Rolle wie die Primzahlen für natürliche Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

Einführendes Beispiel


Eine der bekanntesten Gruppen bildet die Menge der ganzen Zahlen \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}, die üblicherweise mit \mathbb {Z} bezeichnet wird, zusammen mit der Addition.

Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition erfüllt einige grundlegende Eigenschaften:

(a + b) + c = a + (b + c).
In Worten ausgedrückt heißt dies, dass es egal ist, ob man zuerst a und b oder b und c addiert, das Ergebnis ist das gleiche. Diese Eigenschaft wird Assoziativität genannt.
0 + a = a + 0 = a.
Die Addition mit Null verändert also die Ausgangszahl nicht. Daher nennt man Null das neutrale Element der Addition.

Diese vier Eigenschaften der Menge der ganzen Zahlen zusammen mit ihrer Addition werden in der Definition der Gruppe auf andere Mengen mit einer passenden Operation verallgemeinert.

Definition


Gruppe

Eine Gruppe ist ein Paar (G,*) bestehend aus einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung * auf G. Dabei erfüllt die (in Infixnotation geschriebene) Abbildung

{\displaystyle *\colon \,{\begin{cases}G\times G&\to &G\\(a,b)&\mapsto &a*b\end{cases}}}

die folgenden, Gruppenaxiome genannten, Forderungen:[3]

  • Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}.[4]
(Assoziativität)
  • Es gibt ein (einziges) neutrales Element e\in G, mit dem für alle Gruppenelemente a\in G gilt: {\displaystyle a*e=e*a=a}.[5]
(Existenz des neutralen Elements)
  • Zu jedem Gruppenelement a\in G existiert ein (einziges) inverses Element a^{-1}\in G mit a*a^{-1}=a^{-1}*a=e.[6]
(Existenz des inversen Elements)

Schwache Gruppenaxiome

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für das neutrale und das inverse Element folgendermaßen ersetzt:

Es gibt ein linksneutrales Element e \in G, so dass gilt:

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition.[7]

Beweis  

Es erfülle (G,*) die schwachen Gruppenaxiome. Dann existiert zu jedem Gruppenelement a ein Linksinverses b\in G und b besitzt wiederum ein Linksinverses {\displaystyle c\in G}. Also gilt {\displaystyle a*b=e*(a*b)=(c*b)*(a*b)=c*((b*a)*b)=c*(e*b)=c*b=e}, womit b auch ein Rechtsinverses zu a ist. Damit gilt dann auch {\displaystyle a*e=a*(b*a)=(a*b)*a=e*a=a}, also ist e auch ein rechtsneutrales Element und (G,*) somit auch eine Gruppe gemäß der stärkeren Axiomatik. ∎

Gruppe als algebraische Struktur

Eine Gruppe kann auch als eine besondere algebraische Struktur definiert werden. Mit den schwachen Gruppenaxiomen erhält man dann:

Eine Gruppe ist ein Quadrupel (G,*,e,^{-1}) bestehend aus einer Menge G sowie einer assoziativen, inneren zweistelligen Verknüpfung *, einer nullstelligen Verknüpfung e und einer einstelligen Verknüpfung ^{-1} auf G, sodass für jedes a\in G gilt e*a=a und a^{-1}*a=e.

Somit ist eine Gruppe ein spezielles Monoid, in welchem alle Elemente invertierbar sind.

Abelsche Gruppe

Eine Gruppe (G,*) heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente a,b\in G gibt, für die a*b\neq b*a ist, heißt die Gruppe (G,*) nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

Gruppenordnung

Bei einer Gruppe (G,*) wird die Mächtigkeit |G| auch als Ordnung der Gruppe bezeichnet. Für eine endliche Gruppe G = \{a_1, a_2, \dotsc, a_n\} ist die Ordnung also einfach die Anzahl n der Gruppenelemente.

Ordnung eines Elementes

Die Ordnung eines Elementes g\in G ist definiert durch {\displaystyle \operatorname {ord} (g):=\min(\{n\in \mathbb {N} \mid g^{n}=e\}\cup \{\infty \})}, wobei e das neutrale Element der Gruppe G repräsentiert.

Bemerkungen:

\forall g \in G \colon \operatorname{ord}(g) \mid |G| (gesprochen: die Ordnung von g teilt die Gruppenordnung |G|)

Anmerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung * das Symbol \cdot benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann Einselement und wird auch durch 1 symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Für Verknüpfungen von mehreren Elementen wird dann auch das Produktzeichen verwendet. Für n\in \mathbb {N} wird die n-fache Verknüpfung eines Gruppenelements a mit sich selbst als Potenz a^{n} geschrieben und man definiert a^0 = 1 sowie a^{-n} = (a^{-1})^n.

Die Gruppeneigenschaften lassen sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung * das Symbol + benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann Nullelement und wird durch {\displaystyle 0} symbolisiert. Das zum Gruppenelement a inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch a^{-1}, sondern durch -a symbolisiert. Eine n-fache Summe a + a + \dotsb + a wird hier mit n \cdot a bezeichnet und man setzt 0 \cdot a = 0 sowie (-n) \cdot a = n \cdot (-a). Eine abelsche Gruppe kann auf diese Weise als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen \mathbb {Z} aufgefasst werden. Üblich ist die additive Schreibweise nur bei abelschen Gruppen, während nicht abelsche oder beliebige Gruppen zumeist multiplikativ geschrieben werden.[8]

Ist die Verknüpfung aus dem Zusammenhang klar, so schreibt man für die Gruppe häufig nur G.

Beispiele


Im Folgenden werden einige Beispiele von Gruppen aufgeführt. So werden Gruppen von Zahlen, eine Gruppe mit genau einem Element und Beispiele von zyklischen Gruppen angeführt. Weitere Beispiele zu Gruppen finden sich in der Liste kleiner (endlicher) Gruppen.

Mengen von Zahlen

Die triviale Gruppe

Die Menge, die nur ein Element \{e\} hat, kann als Gruppe aufgefasst werden. Da jede Gruppe ein neutrales Element hat, muss genau dieses eine Element dann als das neutrale Element aufgefasst werden. Dann gilt also e * e = e. Mittels dieser Gleichheit können auch die restlichen Gruppenaxiome bewiesen werden. Die Gruppe mit genau einem Element wird die triviale Gruppe genannt.

Zyklische Gruppen

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenz eines ihrer Elemente dargestellt werden können. Unter Verwendung der multiplikativen Notation lauten die Elemente einer zyklischen Gruppe

\ldots , a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, e = a^{0}, a, a^2, a^3, \ldots ,

wobei a^{-2} = a^{-1} \cdot a^{-1} meint und e das neutrale Element der Gruppe bezeichnet. Das Element a wird Erzeuger oder Primitivwurzel der Gruppe genannt. In additiver Notation ist ein Element eine Primitivwurzel, wenn die Elemente der Gruppe durch

\ldots, -a -a, -a, 0, a, a+a, \ldots

dargestellt werden können.

Beispielsweise ist die im ersten Abschnitt betrachtete additive Gruppe der ganzen Zahlen eine zyklische Gruppe mit der Primitivwurzel 1. Diese Gruppe hat unendlich viele Elemente. Im Gegensatz dazu hat die multiplikative Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln endlich viele Elemente. Diese Gruppe besteht aus allen komplexen Zahlen z, die die Gleichung

z^{n}=1

erfüllen. Die n Gruppenelemente können als Eckpunkte eines regulären n-Ecks visualisiert werden. Für n = 6 ist dies in der Grafik auf der rechten Seite geschehen. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation der komplexen Zahlen. Im rechten Bild entspricht also die Multiplikation mit z der Drehung des Polygons im Gegenuhrzeigersinn um 60^{\circ }.

Zyklische Gruppen haben die Eigenschaft durch die Anzahl ihrer Elemente eindeutig bestimmt zu sein. Das heißt zwei zyklische Gruppen mit jeweils n Elementen sind isomorph, es kann also ein Gruppenisomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gefunden werden. Insbesondere sind also alle zyklischen Gruppen mit unendlich vielen Elementen äquivalent zur zyklischen Gruppe (\Z,+) der ganzen Zahlen.

Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe


Daraus ergibt sich, dass die Verknüpfungstafel einer (endlichen) Gruppe ein lateinisches Quadrat ist, bei dem in jeder Zeile und in jeder Spalte jedes Gruppenelement genau einmal vorkommt.
a'=a'*\underbrace{\left(a*a''\right)}_e=\underbrace{\left(a'*a\right)}_e*a''=a''\Rightarrow a'=a''
\left(a*b\right)*\left(b^{-1}*a^{-1}\right) = a*\underbrace{\left(b*b^{-1}\right)}_e*a^{-1} = a*a^{-1} = e.
Somit ist b^{-1}*a^{-1} zu a*b invers.

Gruppenhomomorphismus


Gruppenhomomorphismen sind Abbildungen, die die Gruppenstruktur erhalten. Eine Abbildung

\varphi \colon G \to H

zwischen zwei Gruppen (G,\cdot) und (H,*) heißt Gruppenhomomorphismus[10] oder kurz Homomorphismus, falls die Gleichung

\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b)

für alle Elemente a, b \in G gilt. Ist die Abbildung \varphi zusätzlich bijektiv, so heißt sie Gruppenisomorphismus. In diesem Fall nennt man die Gruppen (G,\cdot) und (H,*) isomorph zueinander.

Mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen bildet die Klasse aller Gruppen eine Kategorie, die üblicherweise mit Grp oder Gr bezeichnet wird.

Gegengruppe


Zu jeder Gruppe (G,\cdot) lässt sich die Gegengruppe {\displaystyle (G^{\mathrm {op} },\circ ):=(G,\circ )} bilden, indem man bei der Verknüpfung \circ die Operanden gegenüber \cdot vertauscht:[11][12]

a\circ b:=b\cdot a für alle a,b\in G (gleiche Grundmenge G).

Ist (G,\cdot) abelsch, so ist {\displaystyle G^{\mathrm {op} }=G}.

G ist die Gegengruppe der Gegengruppe der Gruppe G: {\displaystyle (G^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=G}.

Ein Antihomomorphismus G\rightarrow H zwischen zwei Gruppen ist ein Homomorphismus {\displaystyle G\rightarrow H^{\mathrm {op} }} bzw. {\displaystyle G^{\mathrm {op} }\rightarrow H}.

Produkte von Gruppen


In der Gruppentheorie werden verschiedene Produkte von Gruppen betrachtet:

Einzelnachweise


  1. George G. Hall: Applied group theory. American Elsevier, New York 1967, S. 1.
  2. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 358.
  3. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11.
  4. Damit ist die klammerlose Schreibweise {\displaystyle a*b*c:=(a*b)*c} wohldefiniert.
  5. Die Forderung der Eindeutigkeit ist redundant, denn aus der Maßgabe folgt: Ist f ein neutrales Element, dann ist {\displaystyle f=f*e=e.}
  6. Die Forderung der Eindeutigkeit ist redundant, denn aus der Maßgabe folgt: Ist b ein zu a inverses Element, dann ist {\displaystyle b=b*e=b*(a*a^{-1})=(b*a)*a^{-1}=e*a^{-1}=a^{-1}.}
  7. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer-Lehrbuch, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3, S. 14.
  8. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 11–12.
  9. Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 6.
  10. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4, S. 13.
  11. Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, n°1; Paris, Hermann, 1970, p.29.
  12. planetmath.org Opposite Group



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