Gravitationswaage - de.LinkFang.org

Gravitationswaage




Die Gravitationswaage ist das Messinstrument in einem physikalischen Experiment (auch Cavendish-Experiment genannt) zur Bestimmung der Gravitationskonstanten \({\displaystyle G}\), welche die Stärke der gravitativen Anziehung zwischen Massen festlegt. Sie gibt also ein Maß für die Stärke der Gravitation an.

1798 benutzte Henry Cavendish eine solche Apparatur, um zum ersten Mal die Dichte der Erde bestimmen zu können. Obwohl sich Cavendish selbst nicht für die Gravitationskonstante interessierte, gelang es durch sein Experiment, ihren Wert schon annähernd genau zu errechnen.[1]

Inhaltsverzeichnis

Aufbau


Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine Drehwaage, wie sie auch in der angewandten Geophysik verwendet wird. „Drehwaage“ bedeutet, dass der Betrag des Winkels, um den ein Draht aus seiner Ruheform verdreht wird, Auskunft über das wirkende Drehmoment gibt. Hieraus lässt sich die zwischen den Testmassen wirkende Kraft berechnen.

Konkret: In der Mitte hängt ein Draht, an dem waagerecht ein Stab angebracht ist. An diesem sind in der Mitte ein Spiegel (parallel zum Draht) und zwei kleine Massen an den Enden befestigt. Davor steht eine Lichtquelle, die einen relativ schmalen Lichtstrahl (heutzutage meist ein Laser) emittiert. Dieser ist auf den Draht gerichtet und wird vom schmalen Spiegel an einen entfernten Schirm reflektiert. Findet nun eine Auslenkung der Massen aus der Ruhelage statt, dann kann man dies durch eine Verschiebung des abgebildeten Lichtpunktes feststellen.

Experiment


Vorbereitung:

Durchführung:

Rechnung


Die nachfolgende Berechnung gilt unter der Voraussetzung kleiner Abstände r zwischen großer und kleiner Massen. Nur dann ergibt sich aus der Gravitation zwischen diesen beiden Kugeln eine Kraft, die annähernd senkrecht zur Stange wirkt (an der die kleinen Massen aufgehängt sind). Dann ergibt sich für das Drehmoment \({\displaystyle \textstyle |{\vec {M}}|=|{\vec {L}}\times {\vec {F}}|\approx LF}\).

Drehmoment: Die Anziehung der Massen bewirkt als Kraft ein Drehmoment \({\displaystyle \textstyle M_{1}=G{\frac {mM}{r^{2}}}L}\) auf den Stab. Genaugenommen gibt es auch ein entgegengesetztes Moment \({\displaystyle \textstyle M_{2}=-M_{1}{\frac {r^{3}}{{\sqrt {r^{2}+L^{2}}}^{3}}}}\), welches durch Anziehung der kleinen Kugeln durch die weiter entfernt liegenden großen Kugeln zustande kommt. Der Verdrehung durch \({\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {res} }=M_{1}+M_{2}}\) wirkt die Festigkeit des Drahtes entgegen, je größer der Drehwinkel θ wird, desto mehr Widerstand gibt es. Diese Gegenwirkung ist näherungsweise proportional zum Winkel \({\displaystyle \textstyle M_{d}=D\cdot \Theta }\), den Proportionalitätsfaktor \({\displaystyle \textstyle D}\) nennt man Direktionsmoment.

Schwingungsfrequenz: Im Gültigkeitsbereich der linearen Näherung sind Drehschwingungen harmonisch und ihre Kreisfrequenz \({\displaystyle \textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {D}{I}}}}\) ist nur abhängig vom Direktionsmoment \({\displaystyle \textstyle D}\) und dem Trägheitsmoment \({\displaystyle \textstyle I}\). Letzteres berechnet sich hier einfach als \({\displaystyle \textstyle I=2m(L/2)^{2}}\). Aus \({\displaystyle \textstyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}}\) folgt für die Schwingungsdauer \({\displaystyle \textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{D}}}}\). Also ist \({\displaystyle \textstyle D={\frac {4\pi ^{2}I}{T^{2}}}}\).

Auslenkung: Wie bei allen Spiegeln ist der Drehwinkel der Abbildung doppelt so groß wie der Drehwinkel des Spiegels. Wenn man einen leicht gewölbten Schirm annimmt, ist also der Winkel, um den der Draht gedreht wurde \({\displaystyle \textstyle \Theta ={\frac {s_{0}}{2S}}}\).

Gleichgewicht: Im Gleichgewicht zwischen Anziehung und rücktreibender Kraft muss gelten \({\displaystyle \textstyle M_{\mathrm {res} }=M_{d}}\). Also \({\displaystyle \textstyle G{\frac {mM}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r^{3}}{{\sqrt {r^{2}+L^{2}}}^{3}}}\right)L={\frac {4\pi ^{2}2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}}{T^{2}}}\cdot {\frac {s_{0}}{2S}}}\). Jetzt ist die Gravitationskonstante \({\displaystyle \textstyle G}\) durch bloßes Umformen errechenbar,

\({\displaystyle G={\frac {\pi ^{2}Ls_{0}r^{2}}{T^{2}SM\left(1-{\frac {r^{3}}{{\sqrt {r^{2}+L^{2}}}^{3}}}\right)}}}\)

Ist der Abstand zum Schirm gleich der Hebellänge, \({\displaystyle \textstyle S=L}\), so ergibt sich

\({\displaystyle G={\frac {\pi ^{2}r^{2}s_{0}}{MT^{2}\left(1-{\frac {r^{3}}{{\sqrt {r^{2}+L^{2}}}^{3}}}\right)}}.}\)

Weblinks


Einzelnachweise


  1. The Cavendish Experiment (PDF; englisch).








Kategorien: Gravitation | Physikalisches Experiment








Stand der Informationen: 23.11.2020 08:15:12 CET

Quelle: Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.

Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.