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Gradient (Mathematik)

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Der Gradient ist ein mathematischer Operator, genauer ein Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann und in diesem Fall ein Vektorfeld liefert, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient kann als eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet werden. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.[1]

In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt P, der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.

Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion h(x,y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von h an der Stelle (x,y) ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von h zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem sogenannten Nabla-Operator \nabla (um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann, bisweilen auch {\vec {\nabla }} oder {\underline {\nabla }}).

Inhaltsverzeichnis

Definition


Auf \mathbb {R} ^{n} sei das Skalarprodukt \langle {\cdot },{\cdot }\rangle gegeben. Der Gradient \operatorname {grad} der total differenzierbaren Funktion f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} im Punkt a\in \mathbb {R} ^{n} ist der durch die Forderung

\mathrm {d} f(a)h=\langle \operatorname {grad} f(a),h\rangle \quad (h\in \mathbb {R} ^{n})

eindeutig bestimmte Vektor \operatorname {grad} f(a). Der Operator \mathrm {d} ist das totale Differential bzw. die Cartan-Ableitung.

Koordinatendarstellung


Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.

Kartesische Koordinaten

Im \mathbb {R} ^{n} mit dem euklidischen Standardskalarprodukt ist \operatorname {grad} f(a) der Spaltenvektor

\operatorname {grad} (f)={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\hat {e}}_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\hat {e}}_{n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.

Die Einträge {\tfrac {\partial f}{\partial x_{i}}} sind die partiellen Ableitungen von f in x_{i}-Richtung. Oft schreibt man bei kartesischen Koordinaten auch \nabla f (gesprochen „Nabla f“) statt \operatorname {grad} {f}. In drei Dimensionen hat der Gradient somit die Darstellung

\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}\,,

wobei {\hat {e}}_{x}, {\hat {e}}_{y} und {\hat {e}}_{z} die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen bezeichnen.

Rechenbeispiel

Gegeben sei ein Skalarfeld durch f(x,y)=2x^{2}-y^{2}. Somit sind die partiellen Ableitungen {\frac {\partial f}{\partial x}}=4x und {\frac {\partial f}{\partial y}}=-2y und es folgt \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}=4x{\hat {e}}_{x}-2y{\hat {e}}_{y} oder in Vektordarstellung \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}4x\\-2y\end{pmatrix}}.

Für den Punkt P(2|1)lautet beispielsweise der Gradientvektor {\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}}. Der Betrag ist {\displaystyle |{\begin{pmatrix}8\\-2\\\end{pmatrix}}|={\sqrt {8^{2}+(-2)^{2}}}\approx 8,25}.

Zylinder- und Kugelkoordinaten

\operatorname {grad} V={\frac {\partial V}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}
\operatorname {grad} V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \vartheta }}{\hat {e}}_{\vartheta }+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }

Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf riemannschen Mannigfaltigkeiten. Für diese Verallgemeinerung siehe: Äußere Ableitung.

Orthogonale Koordinaten

In allgemeinen orthogonalen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

\operatorname {grad} f=\sum _{a}{{\frac {1}{h_{a}}}{\frac {\partial f}{\partial {q_{a}}}}\,{\hat {e}}_{q_{a}}}\,,

wobei die h_{a} den Betrag und {\hat {e}}_{q_{a}} die Richtung des Vektors {\tfrac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}} angeben.

Allgemein krummlinige Koordinaten

In allgemein krummlinigen Koordinaten hat der Gradient die Darstellung

\operatorname {grad} f=\sum _{a}{\frac {\partial f}{\partial q_{a}}}\,{\vec {G}}^{a}\,,

worin {\vec {G}}^{a} der Gradient der Koordinate q_{a} ist.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung


Mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß kann der Gradient, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte) und die Rotation (Wirbeldichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist {\mathcal {V}} ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand \partial {\mathcal {V}} und dem Volumen V, dann kann der Gradient des Skalarfelds f\colon {\mathcal {V}}\to \mathbb {R} im Punkt p\in {\mathcal {V}} mittels der Volumenableitung durch

\operatorname {grad} f=\lim _{V\rightarrow 0}{\frac {\oint _{\partial {\mathcal {V}}}f\,\mathrm {d} {\vec {A}}}{V}}

berechnet werden. Dabei bezeichnet {\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}={\tfrac {\vec {n}}{\mid {\vec {n}}\mid }}\mathrm {d} A} das äußere vektorielle Flächenelement von \partial {\mathcal {V}}, wobei {\vec {n}} der nach außen zeigende Normalenvektor und \mathrm {d} A das skalare Flächenelement ist.[2]

Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet {\mathcal {V}} auf den Punkt P zusammengezogen, sodass sein Inhalt V gegen null geht. Ersetzt man f durch einen Druck, erscheint der Gradient als Kraftdichte. Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als Raumgebiet {\mathcal {V}} wählt.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten


Für eine glatte Funktion f auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) ist der Gradient von f dasjenige Vektorfeld \nabla f, mit dem für jedes Vektorfeld X die Gleichung

g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,\qquad \mathrm {d.\,h.} \quad g_{x}((\nabla f)_{x},X_{x})=(\partial _{X}f)(x),

gilt, wobei {\displaystyle g_{x}(\cdot ,\cdot )} das durch g definierte innere Produkt von Tangentialvektoren an x ist und {\displaystyle \partial _{X}f} (oft auch {\displaystyle X(f)} bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt x\in M die Richtungsableitung von f in Richtung X, ausgewertet in x, zuordnet. Mit anderen Worten, in einer Karte \varphi von einer offenen Teilmenge von M auf eine offene Teilmenge von \mathbb {R} ^{n} ist {\displaystyle (\partial _{X}f)(x)} gegeben durch:

\sum _{j=1}^{n}X^{j}(\varphi (x)){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Big |}_{\varphi (x)},

wobei {\displaystyle X^{j}} die j-te Komponente von X in diesen Koordinaten bedeutet.

In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form

\nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.

Analog zum Fall {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der äußeren Ableitung vermittels

(\partial _{X}f)(x)=df_{x}(X_{x})\ .

Genauer: \nabla f ist das der 1-Form \mathrm {d} f unter dem mittels der Metrik g definierten musikalischen Isomorphismus („sharp“)

\sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM

entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und Gradienten für Funktionen auf dem \mathbb {R} ^{n} ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik.

Geometrische Interpretation


Geometrisch betrachtet ist der Gradient eines Skalarfelds an einem Punkt ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes weist. Der Gradient steht dabei senkrecht auf der Niveaufläche (Niveaumenge) des Skalarfeldes in einem Punkt P. Dabei entspricht der Betrag des Vektors der Stärke des Anstieges. Befindet man sich an einem lokalen Minimum oder Maximum (Extremum) oder an einem Sattelpunkt, so ist der Gradient an dieser Stelle gerade der Nullvektor, vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung, Richtungsableitung genannt, ermitteln, der – im Unterschied zum Gradienten – wieder ein Skalar ist.

Eigenschaften


Für alle Konstanten c\in \mathbb {R} und Skalarfelder u,\,v\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} gilt:

\operatorname {grad} c={\vec {0}}

Linearität

\operatorname {grad} (c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} u
\operatorname {grad} (u+v)=\operatorname {grad} u+\operatorname {grad} v

Produktregel

\operatorname {grad} (u\,v)=u\operatorname {grad} v+v\operatorname {grad} u
{\displaystyle \operatorname {grad} (u^{n})=nu^{n-1}\ \operatorname {grad} u}

Zusammenhang zur Richtungsableitung


Unter der Richtungsableitung versteht man die Ableitung, also den Anstieg eines Skalarfeldes \varphi \left({\vec {r}}\right), in Richtung eines normierten Vektors {\vec {v}}, genauer:

D_{\vec {v}}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi ({\vec {r}}+t{\vec {v}})-\varphi ({\vec {r}})}{t}}

Ist \varphi in einer Umgebung von {\vec {r}} differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als Skalarprodukt von {\vec {v}} mit dem Gradienten von \varphi berechnen:

D_{\vec {v}}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\left\langle \operatorname {grad} \varphi ,{\vec {v}}\right\rangle

Integrabilitätsbedingung


Eine wichtige Beziehung für differenzierbare Gradientenfelder \mathbf {G} (x_{1},\dotsc ,x_{n})=\operatorname {grad} f(x_{1},\dotsc ,x_{n}) in n Dimensionen ist die Aussage, dass diese (nach dem Satz von Schwarz) immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle i und k (i,k=1,\dotsc ,n):

{\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial G_{k}}{\partial x_{i}}}\equiv 0

Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der Rotationsfreiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer „Potentialfunktion“ f (präziser: der Funktion \phi =-f). Die G_{i} bzw. G_{k} sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert ferner, dass für alle geschlossenen Wege W im \mathbb {R} ^{n} das Linienintegral \textstyle \oint _{W}\mathbf {G} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.

Lokal gilt auch das Umgekehrte: Die Integrabilitätsbedingung

{\frac {\partial G_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial G_{k}}{\partial x_{i}}}\equiv 0

für ein differenzierbares Vektorfeld {\displaystyle \mathbf {G} } ist auch hinreichend für die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion f mit \mathbf {G} (x_{1},\dotsc ,x_{n})=\operatorname {grad} f(x_{1},\dotsc ,x_{n}) (vgl. Totales Differential#Integrabilitätsbedingung). Unter geeigneten Voraussetzungen an den Definitionsbereich von G (z. B. sternförmig) kann sogar auf die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden (siehe Poincaré-Lemma).

Beispiele


Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der Ortsvektor {\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r} verwendet.

\operatorname {grad} r={\hat {e}}_{r}={\frac {\vec {r}}{r}}
\operatorname {grad} U(r)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}
\operatorname {grad} {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{r^{2}}}\,\operatorname {grad} r=-{\frac {{\hat {e}}_{r}}{r^{2}}}=-{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}
\operatorname {grad} {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|}}=-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{2}}}\,\operatorname {grad} |{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|=-{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|^{3}}}

Man beachte, dass beim letzten Beispiel der Gradient nur auf {\vec {r}} und nicht auf {\vec {r}}^{\prime } wirkt. Er wird deshalb auch als \nabla _{\vec {r}} geschrieben.

Anwendungen


Hydrodynamik
Die Strömungsfelder sogenannter Potentialströmungen sind Gradientenfelder.
Thermodynamik
Sind Teile eines Körper unterschiedlich heiß, so strömt Wärme von den heißeren zu den kühleren Bereichen. Ist die Wärmeleitfähigkeit überall gleich, so ist der Wärmestrom ein Vielfaches des Temperaturgradienten. Für den Wärmestrom jw gilt also beispielsweise \mathbf {j_{w}} =-\lambda \,\operatorname {grad} T\,, mit der sogenannten „Wärmeleitfähigkeit“ λ.
Akustik
Der Druckgradient ist das Verhältnis von Druckdifferenz und dem Abstand zweier Punkte. Bei Richtmikrofonen im Schallfeld hat dieser Begriff eine besondere Bedeutung.
Elektrodynamik
Statische elektrische Felder E sind stets Gradientenfelder elektrostatischer Potentiale \,\phi (x,y,z); präziser gilt mit einem Minuszeichen: \mathbf {E} (x,y,z)=-\operatorname {grad} \phi (x,y,z)\,.
Mechanik
Hier gilt Analoges für sog. „konservative Kraftfelder“.
Bildverarbeitung
Der Gradient wird unter anderem für die Kantenerkennung benutzt. Da ein Bild nur diskrete Werte enthält, benutzt man Filter (Matrix, mit der das Bild gefaltet wird, siehe Diskrete Faltung) wie den Sobel-Operator, um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.
Optimierung
Das Gradientenverfahren ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen.

Vektorgradient


Definition

In der Physik und in den Ingenieurwissenschaften wird jedoch ein sogenannter Vektorgradient auch für Vektorfelder {\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {V} ^{n}\to \mathbb {V} ^{m}} eingeführt, die ein Vektorfeld aus dem euklidischen Vektorraum {\mathbb {V}}^{n} mit Frobenius-Skalarprodukt „·“ in den Vektorraum {\displaystyle \mathbb {V} ^{m}} abbilden, siehe Dyadisches Produkt, weswegen bei der Gradientenbildung aus Vektoren per definitionem Tensoren zweiter Stufe entstehen:

{\displaystyle \operatorname {grad} {\vec {F}}=({\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}})^{\top }=({\vec {\nabla }}{\vec {F}})^{\top }\in \mathbb {V} ^{m}\otimes \mathbb {V} ^{n}}

Das hochgestellte „┬“ steht für die Transposition und der Raum {\displaystyle \mathbb {V} ^{m}\otimes \mathbb {V} ^{n}} enthält alle Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus dem {\mathbb {V}}^{n} in den {\displaystyle \mathbb {V} ^{m}} linear abbilden. Der Vektorgradient ist demnach das transponierte dyadische Produkt „\otimes “ des Nabla-Operators und eines Vektorfelds.

Mit dem Vektorgradient kann die Richtungsableitung in Richtung eines Vektors {\displaystyle {\vec {h}}\in \mathbb {V} ^{n}} berechnet werden:

{\displaystyle ({\vec {h}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {F}}={\vec {h}}\cdot ({\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}})=({\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}})^{\top }\cdot {\vec {h}}=\operatorname {grad} ({\vec {F}})\cdot {\vec {h}}\,.}

In der Strömungsmechanik wird die linke Darstellung mit dem Nabla-Operator gegenüber der rechten bevorzugt, die in der Kontinuumsmechanik üblich ist. Der so definierte Gradient stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein:

{\displaystyle \operatorname {grad} {\vec {F}}\colon \quad (\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot {\vec {h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\vec {F}}({\vec {x}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {{\vec {F}}({\vec {x}}+s{\vec {h}})-{\vec {F}}({\vec {x}})}{s}}\quad {\text{für alle}}\quad \;{\vec {x}},{\vec {h}}\in \mathbb {V} ^{n}\,.}

Seien die komponentenweisen Darstellungen

{\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\vec {a}}_{j}\quad {\text{und}}\quad {\vec {F}}({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{m}F_{i}({\vec {x}}){\vec {b}}_{i}}

bezüglich einer festen Orthonormalbasis {\displaystyle \{{\vec {a}}_{j}\}} des {\mathbb {V}}^{n} und {\displaystyle \{{\vec {b}}_{i}\}} des {\displaystyle \mathbb {V} ^{m}} gegeben. Dann berechnet sich der Gradient gemäß

{\displaystyle \operatorname {grad} {\vec {F}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} {\vec {F}}}{\mathrm {d} x_{j}}}\otimes {\vec {a}}_{j}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} x_{j}}}{\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j}}

Die Komponenten dieses Tensors stimmen mit denen der Jacobi-Matrix überein:

{\displaystyle {\vec {b}}_{k}\cdot (\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot {\vec {a}}_{l}={\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{l}}}=(J_{\vec {F}})_{kl}\,.}

Der Vektorgradient wird u. a. in der Kontinuumsmechanik (z. B. in den Navier-Stokes-Gleichungen) benutzt.

In der Literatur wird gelegentlich auch {\displaystyle \operatorname {grad} {\vec {F}}:={\vec {\nabla }}\otimes {\vec {F}}} definiert.

Totales Differential

Betrachte für ein Vektorfeld eine infinitesimale Verschiebung:

{\vec {F}}({\vec {r}}+\mathrm {d} {\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+J_{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {F}}({\vec {r}})+(\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {F}}({\vec {r}})+(\mathrm {d} {\vec {r}}\cdot \nabla ){\vec {F}}={\vec {F}}({\vec {r}})+\mathrm {d} {\vec {F}}

Das vollständige oder totale Differential eines Vektorfeldes {\vec {F}}({\vec {r}}) ist:

\mathrm {d} {\vec {F}}=(\operatorname {grad} {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}   bzw. in Indexschreibweise   \mathrm {d} F_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\mathrm {d} x_{j}

Das totale Differential eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes haben somit (formal) dieselbe Form. Beim totalen Differential eines Skalarfeldes wird der Gradient mit dem Differential skalar multipliziert. Beim totalen Differential eines Vektorfeldes ist die Multiplikation zwischen dem Gradient (Matrixform) mit dem Differentialvektor als Matrix-Vektor-Produkt durchzuführen.

Eigenschaften

Die Rechenregeln sind diejenigen der Jacobi-Matrix. \operatorname {grad} {\vec {A}} bezeichnet hier den Vektorgradienten.

Für alle Konstanten c\in \mathbb {R} und Vektorfelder {\vec {A}},\,{\vec {B}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m} gilt:

Linearität

\operatorname {grad} (c\cdot {\vec {A}})=c\cdot \operatorname {grad} {\vec {A}}
\operatorname {grad} ({\vec {A}}+{\vec {B}})=\operatorname {grad} {\vec {A}}+\operatorname {grad} {\vec {B}}

Produktregel

({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {B}}=(\operatorname {grad} {\vec {B}})\cdot {\vec {A}}
\operatorname {grad} ({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=(\operatorname {grad} {\vec {A}})^{T}\cdot {\vec {B}}+(\operatorname {grad} {\vec {B}})^{T}\cdot {\vec {A}}
\operatorname {grad} ({\vec {A}}^{\,2})=2\,(\operatorname {grad} {\vec {A}})^{T}\cdot {\vec {A}}

Speziell für Vektorfelder {\vec {A}},\,{\vec {B}}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3} lassen sich obige Beziehung noch umformen:

\operatorname {grad} ({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {B}}\cdot \nabla ){\vec {A}}+{\vec {B}}\times (\nabla \times {\vec {A}})+({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {B}}+{\vec {A}}\times (\nabla \times {\vec {B}})
\operatorname {grad} ({\vec {A}}^{\,2})=2({\vec {A}}\cdot \nabla ){\vec {A}}+2{\vec {A}}\times (\nabla \times {\vec {A}})

Beispiele

{\displaystyle \operatorname {grad} \operatorname {arctan2} (x,y)=\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)}

mit der {\displaystyle \operatorname {arctan2} }-Funktion aus arctan2.

\operatorname {grad} {\vec {r}}=I, wobei I die Einheitsmatrix ist.
\left(\operatorname {grad} {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\right)^{T}=\nabla \otimes {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=\left(\nabla {\frac {1}{r^{3}}}\right)\otimes {\vec {r}}+{\frac {1}{r^{3}}}(\nabla \otimes {\vec {r}})=-{\frac {3}{r^{5}}}{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}+{\frac {1}{r^{3}}}I=-{\frac {1}{r^{5}}}(3{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}-r^{2}I)

Die beiden letzten Formeln werden z. B. bei der kartesischen Multipolentwicklung verwendet.

Weblinks


Literatur


Einzelnachweise


  1. Ernst Grimsehl: Lehrbuch der Physik. Band 1: Mechanik, Wärmelehre, Akustik. 15. Auflage, herausgegeben von Walter Schallreuter. Teubner, Leipzig 1954, S. 579.
  2. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren



Kategorien: Feldtheorie | Differentialoperator | Vektoranalysis



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