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Gerade und ungerade Funktionen




Gerade und ungerade Funktionen sind in der Mathematik zwei Klassen von Funktionen, die bestimmte Symmetrieeigenschaften aufweisen:

In der Schulmathematik gehört die Untersuchung eines Funktionsschaubildes auf diese Symmetrien hin zu den ersten Schritten einer Kurvendiskussion.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Eine reelle Funktion \({\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }\) mit einer bezüglich der Null symmetrischen Definitionsmenge \({\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }\) heißt gerade, wenn für alle Argumente \({\displaystyle x\in D}\)

\({\displaystyle f(-x)=f(x)}\)

gilt, und sie heißt ungerade, wenn für alle \({\displaystyle x\in D}\)

\({\displaystyle f(-x)=-f(x)}\)

gilt. Anschaulich ist eine reelle Funktion genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Beispiele


Gerade Funktionen

Ungerade Funktionen

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Nullfunktion \({\displaystyle f(x)=0}\).

Allgemeinere Beispiele

Zerlegung


Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind, zum Beispiel die Funktion \({\displaystyle f(x)=x+1}\). Jede Funktion mit einer bezüglich der Null symmetrischen Definitionsmenge \({\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }\) lässt sich jedoch als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben. Das heißt

\({\displaystyle f(x)=f_{\text{g}}(x)+f_{\text{u}}(x)}\),

wobei

\({\displaystyle f_{\text{g}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}\)

den geraden Anteil der Funktion und

\({\displaystyle f_{\text{u}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}\)

den ungeraden Anteil der Funktion darstellt. Diese Zerlegung einer Funktion in gerade und ungerade Komponenten ist eindeutig, d. h. es gibt keine andere Möglichkeit, eine Funktion in gerade und ungerade Komponenten zu zerlegen. Dies folgt aus den Tatsachen, dass die Mengen aller geraden/ungeraden Funktionen einen Untervektorraum des Raums aller Funktionen bilden und die einzige Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist, die Nullfunktion ist.

Eigenschaften


Algebraische Eigenschaften

Analytische Eigenschaften

Verallgemeinerungen


Allgemeiner definiert man in der Algebra durch obige Definition auch gerade und ungerade Funktionen \({\displaystyle f\colon X\to Y}\) zwischen zwei Mengen \({\displaystyle X}\) und \({\displaystyle Y}\), auf denen eine Verknüpfung mit additiv Inversem gegeben ist, beispielsweise (additive) Gruppen, Ringe, Körper oder Vektorräume. Auf diese Weise lassen sich beispielsweise auch gerade und ungerade komplexe Funktionen oder gerade und ungerade vektorwertige Funktionen definieren.

In der mathematischen Physik wird das Konzept der geraden und ungeraden Funktionen durch den Begriff der Parität verallgemeinert. Diese ist vor allem für Wellenfunktionen etwa in der Quantenmechanik von Bedeutung.

Literatur


Weblinks










Kategorien: Mathematische Funktion








Stand der Informationen: 04.07.2020 09:14:58 CEST

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