Gerade - de.LinkFang.org

Gerade




Eine gerade Linie oder kurz Gerade ist ein Element der Geometrie. Sie ist eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte wird hingegen als Strecke bezeichnet. Moderne axiomatische Theorien der Geometrie nehmen darauf jedoch keinen Bezug (Synthetische Geometrie). Für sie ist eine Gerade ein Objekt ohne innere Eigenschaften, lediglich die Beziehungen zu anderen Geraden, Punkten und Ebenen sind von Bedeutung. In der analytischen Geometrie wird eine Gerade als eine Menge von Punkten realisiert. Genauer: In einem affinen Raum ist eine Gerade ein eindimensionaler affiner Unterraum.

Inhaltsverzeichnis

Synthetische Geometrie


In seinen Elementen hat Euklid eine explizite Definition einer Geraden gegeben, die dem anschaulichen Bild entspricht. Für Sätze und ihre Beweise spielt diese Definition jedoch keine Rolle. Moderne Axiomensysteme verzichten daher auf eine solche Definition.

Eine Gerade ist in diesem Fall ein Begriff, auf den die einzelnen Axiome Bezug nehmen. Ein Beispiel ist das erste Axiom aus Hilberts Axiomensystem:

Zwei voneinander verschiedene Punkte \({\displaystyle P}\) und \({\displaystyle Q}\) bestimmen stets eine Gerade \({\displaystyle g}\).

Die Bedeutung des Begriffs Gerade ergibt sich aus der Gesamtheit der Axiome. Eine Interpretation als eine unendlich lange, unendlich dünne Linie ist nicht zwingend, sondern nur eine Anregung, was man sich anschaulich darunter vorstellen könnte.

In der projektiven Ebene sind die Begriffe Punkt und Gerade sogar vollständig austauschbar (Dualität). Damit ist es hier möglich, sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen.

Analytische Geometrie


In der analytischen Geometrie wird der geometrische Raum als \({\displaystyle n}\)-dimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen dargestellt. Eine Gerade wird dabei als eindimensionaler affiner Unterraum dieses Vektorraums definiert, d. h. als Nebenklasse eines eindimensionalen linearen Unterraumes.

In drei Dimensionen erfüllt der Geradenbegriff der analytischen Geometrie alle Bedingungen, die Hilbert in seinem Axiomensystem der Geometrie voraussetzt. In diesem Fall ist eine Gerade somit auch eine Gerade im Sinne Hilberts.

Man benötigt lediglich die Lage zweier Punkte, um eine Gerade zu beschreiben. Einer der Punkte dient dabei als „Stütze“ der Geraden, auf ihm „liegt“ sie sozusagen auf – dieser Punkt heißt daher Aufpunkt oder Stützpunkt der Geraden. Mit dem zweiten Punkt erhält man die Richtung der Geraden. Die Richtung wird dabei durch den Vektor vom Aufpunkt zum „Richtungspunkt“ angegeben.

Die Gerade \({\displaystyle g}\) durch die Punkte \({\displaystyle P}\) und \({\displaystyle Q}\) enthält genau die Punkte \({\displaystyle X}\), deren Ortsvektor \({\displaystyle {\vec {x}}}\) eine Darstellung

\({\displaystyle {\vec {x}}={\overrightarrow {OP}}+t\,{\overrightarrow {PQ}}}\) mit \({\displaystyle t\in \mathbb {R} }\)

besitzt, also

\({\displaystyle g=\{X\mid {\overrightarrow {OX}}={\overrightarrow {OP}}+t\,{\overrightarrow {PQ}};t\in \mathbb {R} \}.}\)

Hierbei ist \({\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}\) der Stützvektor, das heißt der Ortsvektor des Stützpunkts \({\displaystyle P}\) und \({\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}\) der Richtungsvektor.

Die affine Hülle von zwei verschiedenen Vektoren \({\displaystyle {\vec {v}}}\) und \({\displaystyle {\vec {w}}}\)

\({\displaystyle \{\lambda {\vec {v}}+\mu {\vec {w}}\mid \lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,\lambda +\mu =1\}}\)

ist ebenfalls eine Gerade.

Auch der Lösungsraum eines (inhomogenen) linearen Gleichungssystems mit \({\displaystyle n-1}\) linear unabhängigen Gleichungen ist ein affiner Unterraum der Dimension Eins und somit eine Gerade. In zwei Dimensionen kann eine Gerade folglich durch eine Geradengleichung

\({\displaystyle \alpha x+\beta y=\gamma }\)

angegeben werden, wobei \({\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} }\) und \({\displaystyle \alpha }\) oder \({\displaystyle \beta }\) ungleich Null sein muss. Ist \({\displaystyle \beta }\) ungleich 0, so spricht man von einer linearen Funktion \({\displaystyle y=f(x)}\).

Kürzester Weg


Im reellen euklidischen Raum liegt der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer Geraden. Verallgemeinert man diese Eigenschaft der Geraden auf gekrümmten Räumen (Mannigfaltigkeiten), so gelangt man zum Begriff der geodätischen Linie, kurz Geodäte.

Gleichung einer Geraden in der Ebene


Die Gleichung einer Geraden in der Ebene kann man auf drei verschiedenen Weisen bestimmen:

Punkt-Richtung-Gleichung:

Zwei-Punkte-Gleichung:

oder

\({\displaystyle y=y_{1}{\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}\)

Gleichung einer Geraden im Raum ℝⁿ


Punkt-Richtungs-Gleichung

Für jedes Paar \({\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {r} )}\) aus einem Ortsvektor (d. h. Punkt) \({\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}\) und einem Richtungsvektor \({\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}\) existiert eine Gerade \({\displaystyle g}\), die \({\displaystyle \mathbf {p} }\) enthält und in Richtung \({\displaystyle \mathbf {r} }\) verläuft, nämlich

\({\displaystyle g=\{\mathbf {p} +\lambda \mathbf {r} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}}\).

Zwei-Punkte-Gleichung

Gegeben seien zwei Ortsvektoren (d. h. Punkte) \({\displaystyle \mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2}\in \mathbb {R} ^{n}}\) mit \({\displaystyle \mathbf {p} _{1}\neq \mathbf {p} _{2}}\). Dann existiert eine eindeutig bestimmte Gerade \({\displaystyle g}\), die \({\displaystyle \mathbf {p} _{1}}\) und \({\displaystyle \mathbf {p} _{2}}\) enthält, nämlich

\({\displaystyle g=\{\mathbf {p} _{1}+\lambda (\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1})\mid \lambda \in \mathbb {R} \}=\{(1-\lambda )\mathbf {p} _{1}+\lambda \mathbf {p} _{2}\mid \lambda \in \mathbb {R} \}}\).

Lage zweier Geraden zueinander


Zwei Geraden können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:

Im Sinne der Theorie der Relationen spricht man auch von Parallelität, wenn beide Geraden identisch sind, insbesondere ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Zur Präzisierung unterscheidet man dann zwischen echt parallel und identisch.

Die Gerade in Technik und Vermessungskunde


In technischen Fachgebieten ist die Gerade das wichtigste Element für Konstruktionen, zur Trassierung, zur Ortsbestimmung und zur Einmessung von Koordinaten:

Bei Messungen wird sie durch die Zielachse eines Messfernrohrs oder einen Laser repräsentiert, im Bauwesen etwa durch ein Schnurgerüst.

Weblinks


Commons: Gerade  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Gerade – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen








Kategorien: Affiner Raum | Euklidische Geometrie








Stand der Informationen: 03.07.2020 04:36:13 CEST

Quelle: Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.

Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.