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Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

(Weitergeleitet von Gaußklammer)

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol \({\displaystyle \left[x\right]}\) für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.[1] Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen \({\displaystyle \operatorname {floor} (x)}\) und \({\displaystyle \lfloor x\rfloor }\) (engl. floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie \({\displaystyle \operatorname {ceil} (x)}\) und \({\displaystyle \lceil x\rceil }\) (englisch ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.[2] Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.[3][4] Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.[5]

Inhaltsverzeichnis

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer


Definition

Für eine reelle Zahl \({\displaystyle x}\) ist \({\displaystyle \lfloor x\rfloor }\) die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich \({\displaystyle x}\) ist:
\({\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}}\)

Beispiele

Eigenschaften

Aufrundungsfunktion


Definition

Für eine reelle Zahl \({\displaystyle x}\) ist \({\displaystyle \lceil x\rceil }\) die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich \({\displaystyle x}\) ist.
\({\displaystyle \lceil x\rceil :=\min\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq x\}}\)

Beispiele

Eigenschaften

Allgemeine Eigenschaften


Gaußklammer und Dezimalstellen

Es gilt für positive Zahlen:

\({\displaystyle x=\lfloor x\rfloor +\operatorname {frac} (x)}\)
Die Funktion \({\displaystyle \operatorname {frac} (x)}\) liefert dabei den Nachkommaanteil mit \({\displaystyle 0\leq \operatorname {frac} (x)<1}\).

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

Kaufmännische Rundung

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür ohne Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens des Arguments, die Funktion

Weblinks


Einzelnachweise


  1. Earliest Uses of Function Symbols : Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C) : The terms Ceiling Function and appear in Kenneth E. Iverson’s A Programming Language (1962, p. 12): “Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by \({\displaystyle \lfloor x\rfloor }\) and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by \({\displaystyle \lceil x\rceil }\) and defined as the smallest integer not exceeded by x.” This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  3. Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5167-1, S. 115
  4. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 978-3-642-97622-3, S. 28
  5. Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1039-7, S. 33-34



Kategorien: Rundung | Mathematische Funktion | Zahlentheorie | Carl Friedrich Gauß

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