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Feldlinie


Feldlinie (oder Kraftlinie) ist ein Begriff der Physik. Feldlinien sind gedachte oder gezeichnete Linien (i. A. gekrümmt), die die von einem Feld auf einen Probekörper ausgeübte Kraft veranschaulichen. Die an eine Feldlinie gelegte Tangente gibt die Kraftrichtung im jeweiligen Berührungspunkt an; die Dichte der Feldlinien gibt die Stärke des Feldes an.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele


Die Gestalt und Dichte von magnetischen und elektrischen Feldlinien lassen sich mittels einfacher Demonstrationsexperimente sichtbar machen: Eisen wird – wie alle ferromagnetischen Materialien – durch ein Magnetfeld magnetisiert. Daher lagern Eisenspäne, z. B. auf einem Blatt Papier, sich aneinander an und bilden Ketten entlang der magnetischen Feldlinien. Ganz ähnlich wirkt das elektrische Feld auf Grießkörner in einer zähen, dielektrischen Flüssigkeit wie beispielsweise Rizinusöl. Die Körner werden durch das Feld elektrisch polarisiert und ordnen sich daher entlang der elektrischen Feldlinien an.

Eigenschaften


Richtung (Orientierung)


Die Feldlinien zeigen in Richtung der Feldstärke:

Begründung der Felddarstellung mittels Linien


Am Beispiel einer geladenen Kugel, die eine Kraftwirkung auf andere geladene Teilchen in der Umgebung ausübt, können verschiedene Möglichkeiten einer anschaulichen graphischen Darstellung des Feldes diskutiert werden.

Theoretischer Hintergrund


Eine Feldlinie bezeichnet einen Pfad entlang eines Vektorfeldes auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, beispielsweise entlang des elektrischen Feldes im Ortsraum. Da das Vektorfeld jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen Tangentialvektor zuordnet, Feldlinien aber, um sinnvoll von „Feldliniendichte“ sprechen zu können, zueinander Abstände haben müssen, wird klar, warum man das Konzept „Feldlinie“ nur zur qualitativen Veranschaulichung benutzt.

Typische Vektorfelder, wie sie Gegenstand der Elektrodynamik sind, lassen sich mit dem Zerlegungssatz in einen Gradienten- und einen Wirbelfeldanteil zerlegen. Die Feldlinien des Gradientenfeldes verlaufen zwischen den Senken und den Quellen, beim Wirbelfeld sind alle Feldlinien geschlossene Schleifen, die sich nicht kreuzen.

Formal charakterisiert man z. B. im elektrischen Feld die Feldlinien im Punkt \({\displaystyle {\vec {r}}}\) durch die Gleichung

\({\displaystyle \mathrm {d} {\vec {s}}\times {\vec {E}}({\vec {r}})=0}\)

Wobei \({\displaystyle \mathrm {d} {\vec {s}}}\) die infinitesimale Fortsetzung der durch den Punkt \({\displaystyle {\vec {r}}}\) verlaufenden Feldlinie darstellt. Dieser Gleichung genügen wegen der Definition des Kreuzprodukts alle Vektoren, die parallel zu den Feldlinien in diesem Punkt sind. Im zweidimensionalen Fall (\({\displaystyle \mathrm {d} z=E_{z}=0}\)) reduziert sich diese Gleichung auf

\({\displaystyle \mathrm {d} yE_{x}-\mathrm {d} xE_{y}=0\Longleftrightarrow {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {E_{y}}{E_{x}}}}\)

Das Feldlinienbild ermöglicht einen zwanglosen Zugang zum Gaußschen Integralsatz: Alle Feldlinien des Feldes \({\displaystyle {\vec {E}}}\), die ihren Ursprung in einem Gebiet \({\displaystyle V}\) haben, das durch den Rand \({\displaystyle S}\) begrenzt ist, müssen entweder auch in diesem Gebiet enden oder durch den Rand hindurchstoßen. Folglich gilt:

\({\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}\;\mathrm {d} V=\oint _{S}{\vec {E}}\cdot {\vec {n}}\;\mathrm {d} S\,.}\)

In Worten: Die gesamte Quellenstärke des Vektorfeldes in einem Gebiet ist gleich groß wie der Fluss durch seine Randfläche. Daraus folgt sofort für kugelsymmetrische Probleme

\({\displaystyle |{\vec {E}}(r)|\propto {\frac {1}{4\pi r^{2}}},}\)

da sich die Feldlinien auf die Kugeloberfläche mit Radius \({\displaystyle r}\) „verteilen“. Diese Proportionalität findet sich z. B. im Gravitationsgesetz oder im Coulomb-Gesetz.

Einzelnachweise


  1. P. J. Morrison: Magnetic Field Lines, Hamiltonian Dynamics, And Nontwist Systems. In: Physics of Plasma. Band 7, Nr. 6, 2000, S. 2279–2289. online , abgerufen am 16. Februar 2016








Kategorien: Feldtheorie | Elektrostatik








Stand der Informationen: 22.11.2020 03:49:44 CET

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