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Familie (Mathematik)




Der Begriff der Familie wird in der Mathematik unmittelbar aus dem Grundbegriff der Funktion abgeleitet. Die beiden Begriffe stimmen in vieler Hinsicht überein. Der Unterschied zwischen beiden liegt dabei einerseits im Formalen, also in der Schreib- und Sprechweise, und andererseits in der Verwendung und der dadurch suggerierten Bedeutung. Besonders häufig ist die Darstellung der Familie als Menge von Wertepaaren, wobei die unabhängige(n) Variable(n) als Index (Indizes) der abhängigen Variable notiert sind. Wenn die so dargestellte Funktion nicht injektiv ist, enthält die Mengendarstellung Elemente, die sich paarweise nur durch den Index unterscheiden.

Davon abweichend versteht man unter einer „Familie von Mengen“ oder „Mengenfamilie“ teilweise eine Menge von Mengen (ein sogenanntes Mengensystem), oder eine Mengenfamilie.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften


Die Schreibweise besteht aus

Beispiel: \({\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}\) oder gleichwertig \({\displaystyle (a_{i}\mid i\in I)}\) mit \({\displaystyle a_{i}\in A}\) für alle \({\displaystyle i\in I}\). Sie entspricht der Funktion \({\displaystyle f\colon \,I\to A,\,i\mapsto a_{i}}\).

Die \({\displaystyle a_{i}}\) nennt man die Mitglieder oder die Terme der Familie und sie sind Elemente aus der Quellmenge oder der indizierten Menge \({\displaystyle A}\), \({\displaystyle i}\) heißt Index und \({\displaystyle I}\) die Indexmenge oder der Indexbereich. Eine Sprechweise für dieses Beispiel wäre: „Eine Familie von Elementen \({\displaystyle a_{i}}\) aus \({\displaystyle A}\) mit Index \({\displaystyle i}\) aus der Indexmenge \({\displaystyle I}\).“ Die Angabe des Definitionsbereiches des Index wird, falls dieser keine Rolle spielt oder sich aus dem Zusammenhang ergibt, gelegentlich auch weggelassen:

Beispiel: \({\displaystyle (a_{i})_{\ }}\).

Davon zu unterscheiden (was nicht immer gemacht wird) ist die Menge aller Mitglieder der Familie, die eine Teilmenge der Quellmenge ist und der Bildmenge \({\displaystyle f(I)}\) entspricht:

Beispiel: \({\displaystyle \{a_{i}\mid i\in I\}\subseteq A}\).

Manche Autoren[1] schreiben Familien in der Form \({\displaystyle \{a_{i}\}_{i\in I}}\), was jedoch die Gefahr in sich birgt, dass der Leser dies mit der Menge \({\displaystyle \{a_{i}\mid i\in I\}}\) verwechseln könnte.

Das Charakteristikum von Familien ist folgendes:

Zwei Familien \({\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}\) und \({\displaystyle (b_{j})_{j\in J}}\) sind genau dann gleich, wenn \({\displaystyle I=J}\) und \({\displaystyle a_{i}=b_{i}}\) für jedes \({\displaystyle i\in I}\) gilt.

Schematisch lassen sich die Schreibweisen für Funktionen und Familien so gegenüberstellen:

Funktion Familie
 \({\displaystyle f\colon \,I\to A,\,i\mapsto a_{i}}\)  \({\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}\) mit \({\displaystyle a_{i}\in A}\) für alle \({\displaystyle i\in I}\)
 Bild oder Wert \({\displaystyle f(i)=a_{i}}\)  Term oder Mitglied \({\displaystyle a_{i}}\) mit Index \({\displaystyle i}\)
 Definitionsbereich \({\displaystyle I}\)  Indexmenge \({\displaystyle I}\)
 Bild- oder Wertebereich \({\displaystyle A}\)  Quellmenge oder indizierte Menge \({\displaystyle A}\)
 Einschränkung \({\displaystyle f|_{J}}\) mit \({\displaystyle J\subseteq I}\)  Teilfamilie \({\displaystyle (a_{j})_{j\in J}}\) mit \({\displaystyle J\subseteq I}\)

Allgemeiner gesprochen gibt es drei Interpretationen von linkstotalen und rechtseindeutigen Relationen, nämlich als:

Eine Familie ist die Indizierungsinterpretation einer Funktion mit einer speziellen Notation, bei der kein spezielles Funktionssymbol wie bei der Abbildungsnotation benutzt wird.

Die Betonung liegt hier auf Interpretation. Es werden hier keine neuen mathematischen Begriffe eingeführt, sondern nur alternative Sichtweisen des gleichen formalen Sachverhalts gegeben. Der Sinn dieser alternativen Sichtweisen liegt in einer bequemeren Handhabbarkeit in speziellen Anwendungssituationen, insbesondere beim kalkülmäßigen Rechnen.

Für die Menge der mit der Indexmenge I indizierten Familien, deren Mitglieder alle in A liegen, schreibt man \({\displaystyle A^{I}}\). Sind A und I endliche Mengen, dann gilt für ihre Mächtigkeit:

\({\displaystyle |A^{I}|=|A|^{|I|}}\).

Beispiele für Familien und Anwendungssituationen


Beispiele und Fälle

Typische Anwendung findet die Familien-Schreibweise bei:

Oftmals wird fälschlicherweise von einer Menge gesprochen, wenn eine Familie gemeint und erforderlich ist. Würde man etwa in der Theorie der Vektorräume den Begriff lineare Unabhängigkeit für Mengen statt Familien von Vektoren definieren, könnte man noch nicht einmal formulieren, dass zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren u. a. dann linear abhängig sind, wenn sie gleich sind. In dem Fall würden sie zusammen nämlich nur eine einelementige Menge bilden, die dann linear unabhängig ist. Umgekehrt kann man bei Bedarf eine Menge \({\displaystyle A}\) jederzeit als Familie auffassen, indem man sie durch sich selbst indiziert mittels \({\displaystyle \operatorname {id} _{A}}\), der identischen Abbildung auf \({\displaystyle A}\):

\({\displaystyle (a)_{a\in A}}\).

Familien paarweise disjunkter Teilmengen

Wenn \({\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}\) eine Familie von Mengen mit den Eigenschaften \({\displaystyle \forall i\in I\colon \;A_{i}\subseteq A}\) und \({\displaystyle \forall i,j\in I\colon \;i\neq j\implies A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }\) sein soll, dann ist sie nach der in diesem Artikel vorgestellten Darstellung eine Funktion \({\displaystyle f\colon \;I\to {\mathcal {P}}A}\) mit sehr speziellen Eigenschaften, und \({\displaystyle A_{i}=f(i)}\). Eine alternative Repräsentation \({\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}\) ist in diesem Fall eine Funktion \({\displaystyle g\colon \;A\to I}\). Hiermit ist \({\displaystyle A_{i}=g^{-1}(i)}\) und die paarweise Disjunktheit ergibt sich automatisch.

Literatur


Einzelnachweise


  1. beispielsweise Serge Lang: Algebra. Addison-Wesley, 1965.








Kategorien: Mengenlehre








Stand der Informationen: 04.07.2020 01:20:31 CEST

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