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Einheit (Mathematik)

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, wird ein invertierbares Element eines Monoids als Einheit bezeichnet. Einheiten werden vor allem in unitären Ringen betrachtet.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Sei (M,\cdot, 1) ein Monoid, wobei mit 1 das neutrale Element bezeichnet wird. Dann heißt ein Element a\in M eine Einheit, wenn es invertierbar ist, also wenn es ein b\in M gibt mit

a\cdot b=b\cdot a=1.

Das Element b mit dieser Eigenschaft ist eindeutig bestimmt und wird als das inverse Element von a bezeichnet und oft als a^{-1} notiert.[1]

Elemente, die keine Einheiten sind, werden oft als Nichteinheiten bezeichnet.

Die Menge M^\ast aller Einheiten eines Monoids, also

M^\ast:=\{x \in M \mid x \text{ ist Einheit}\},

bildet eine Gruppe, die Einheitengruppe von M.[2] Eine weitere übliche Bezeichnung für die Einheitengruppe ist M^\times.

Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen


Sei (R,+,\cdot ,0,1) ein unitärer Ring, also ein Ring mit einem neutralen Element bezüglich der Multiplikation, das mit 1 bezeichnet wird. Dann ist (R,\cdot, 1) ein Monoid und damit ist der Begriff der Einheit für einen unitären Ring definiert und ist gerade die Menge der invertierbaren Elemente.[3]

Beispiele


Eigenschaften


Verallgemeinerung: Links- und Rechtseinheiten


Ist das Monoid M nicht kommutativ, so können auch einseitige Einheiten betrachtet werden

Ein Element a\in M ist genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Monoid stimmen die drei Begriffe überein. 1 bleibt auch im nicht-kommutativen Fall eine beidseitige Einheit.

Beispiel

Es gibt den folgenden Ring R, in dem es eine Linkseinheit A gibt, die keine Rechtseinheit ist, und eine Rechtseinheit B, die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind A und B noch einseitige Nullteiler.

R bestehe aus allen Matrizen der Größe „abzählbar-mal-abzählbar“ mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). R ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation. Die Einheitsmatrix E hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen, sie ist das Einselement von R (das neutrale Element der Multiplikation).

A sei die Matrix in R, die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\ddots \\&\vdots &&&\ddots &\ddots \end{pmatrix}}

B sei die Transponierte A^{T} von A, also die Matrix, die in der ersten Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat, und sonst nur Nullen.

Es ist AB=E, also ist A eine Linkseinheit und B eine Rechtseinheit. Für jedes Element C von R hat aber das Produkt CA in der ersten Spalte nur Nullen, und das Produkt BC in der ersten Zeile nur Nullen. Damit kann A keine Rechtseinheit und B keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix D, die nur in der Komponente D_{{1,1}} eine Eins und sonst nur Nullen enthält, ist AD=0 und DB=0, also ist A ein Linksnullteiler und B ein Rechtsnullteiler.

Eine funktionalanalytische Variante dieses Beispiels ist der unilaterale Shiftoperator.

Literatur


Einzelnachweise


  1. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, S. 9
  2. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, Lemma 2.4
  3. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, 13.3
  4. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, 14.9



Kategorien: Algebra


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