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Drachenviereck

Ein Drachenviereck (auch Drachen oder Deltoid[1]) ist ein ebenes Viereck,

oder (äquivalent)

Oft wird nur die konvexe Form des Deltoids als Drachenviereck bezeichnet und die nicht-konvexe Form als Pfeilviereck oder Windvogelviereck. (Die Bezeichnung „Drachenviereck“ verweist auf die Form vieler Flugdrachen.)

Ein spezielles Drachenviereck ist der Rhombus (auch die Raute): Es ist ein gleichseitiges Deltoid.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften


Für jedes Deltoid gilt mit den Bezeichnungen aus der Grafik:

Für jedes konvexe Deltoid gilt:

Die Diagonale AC ist Symmetrieachse und halbiert die Diagonale BD. Sie teilt das Viereck ABCD in zwei kongruente spiegelsymmetrische Dreiecke (ABC und ACD). Die Diagonale BD teilt das Viereck in zwei gleichschenklige Dreiecke (ABD und BCD). Die Innenwinkel bei B und bei D sind gleich groß. Die Winkel bei A und bei C werden von der Diagonale halbiert.

Formelsammlung


Der Flächeninhalt A eines Drachenvierecks lässt sich leicht aus den Längen der Diagonalen e und f bestimmen:

A = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} = \frac{e\cdot f}2

oder:

{\displaystyle A=a\cdot b\sin(\angle CBA)}

Zur Herleitung letzterer Formel denkt man sich den Drachen an der Symmetrieachse in zwei kongruente Dreiecke zerlegt, die sich nach dem Spiegeln eines Dreiecks wieder zu einem flächengleichen Parallelogramm zusammensetzen lassen.

Der Umfang berechnet sich durch

{\displaystyle u=2({\overline {AB}}+{\overline {BC}})=2\cdot (a+b)\,}

Der Inkreisradius:

{\displaystyle r={\frac {2A}{u}}={\frac {e\cdot f}{2\cdot (a+b)}}}

Verallgemeinerungen


Ein schräges Drachenviereck ist ein ebenes Viereck, in dem eine der Diagonalen durch die andere halbiert wird.[2] (Ein solches Viereck wird manchmal auch 'schief' genannt.[3]) Bei einem schrägen Drachenviereck stehen die Diagonalen also nicht zwangsläufig orthogonal zu einander. Das Deltoid ist in diesem Sinne ein gerader Drachen. Für das schräge Drachenviereck gilt eine über das Kreuzprodukt verallgemeinerte Formel für den Flächeninhalt.

Ein Viereck ist ein schiefes Drachenviereck genau dann, wenn es sich von einem inneren Punkt aus mit geraden Verbindungen zu den vier Ecken in vier flächengleiche Dreiecke zerlegen lässt.[4]

Einzelnachweise


  1. Lehrpläne - Vorbereitungslehrgänge für Arbeitslehrerinnen
  2. Drachenvierecke , Mathematik, TU Freiberg
  3. Jürgen Köller: Hierarchie der Vierecke , Mathematische Basteleien
  4. Hans Walser: Viereck-Viertelung

Weblinks


 Commons: Drachenviereck  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
WiktionaryWiktionary: Drachenviereck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen



Kategorien: Viereck | Vierecksgeometrie



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