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Dedekindscher Schnitt

Ein Dedekindscher Schnitt ist in der mathematischen Ordnungstheorie eine spezielle Partition der rationalen Zahlen, mit deren Hilfe sich eine reelle Zahl darstellen lässt. Auf diese Weise kann man die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen konstruieren. Benannt ist diese „Methode der Dedekindschen Schnitte“ nach dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind, obwohl solche Partitionen zuerst von Joseph Bertrand beschrieben wurden, wie Detlef Spalt entdeckt hat.[1][2] Sie kann allgemein zur Vervollständigung von Ordnungen verwendet werden, die wie die rationalen Zahlen in sich dicht liegen. Auch bei dieser Verallgemeinerung der Methode sind die Bezeichnungen üblich, die in diesem Artikel definiert und benutzt werden.

Definiert man die reellen Zahlen axiomatisch, so kann man Dedekindsche Schnitte verwenden, um die Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen zu sichern. In diesem Fall spricht man dann von dem Axiom vom Dedekindschen Schnitt oder kurz vom Schnittaxiom.

Inhaltsverzeichnis

Definition


Dedekindsche Schnitte werden durch ein geordnetes Paar von Teilmengen rationaler Zahlen \alpha (Untermenge) und \beta (Obermenge) über folgende Axiome definiert:

  1. Jede rationale Zahl liegt in genau einer der Mengen \alpha , \beta .[3]
  2. Weder \alpha noch \beta ist leer.
  3. Jedes Element von \alpha ist kleiner als jedes Element von \beta .
  4. \alpha hat kein größtes Element, das heißt, für jedes p\in \alpha gibt es ein r\in \alpha mit p < r.

Da jeweils die Untermenge \alpha oder die Obermenge \beta für sich einen Schnitt festlegen, kann man auch die folgende Definition benutzen:

Eine Teilmenge \alpha der rationalen Zahlen ist genau dann Untermenge eines Dedekindschen Schnitts, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. \alpha ist nicht leer und umfasst nicht alle rationalen Zahlen (\alpha \neq {\mathbb Q}).
  2. \alpha ist nach unten abgeschlossen, das heißt, wenn p\in \alpha , q\in {\mathbb Q} und p>q, dann ist auch q\in \alpha .
  3. \alpha enthält kein größtes Element.

Diese drei Bedingungen lassen sich zusammenfassend so formulieren: \alpha ist ein offenes, nach unten unbeschränktes und nach oben beschränktes Intervall von rationalen Zahlen. Statt „Untermenge eines Dedekindschen Schnitts“ wird in der Literatur auch die Bezeichnung „offener Anfang“ verwendet.[4] Manchmal wird die Untermenge eines Dedekindschen Schnitts auch selbst als „Schnitt“ bezeichnet.[5][6]

Konstruktion der reellen Zahlen


Man definiert die Menge \mathbb {R} der reellen Zahlen als die Menge aller (Dedekindschen) Schnitte in \mathbb {Q} . Der Einfachheit halber werden im Folgenden wie oben beschrieben nur die Untermengen von Dedekindschen Schnitten betrachtet und als „Schnitte“ bezeichnet. In die Menge aller Schnitte bettet man die rationalen Zahlen ein, indem man jeder Zahl als Schnitt die Menge aller kleineren Zahlen zuordnet. Der rationalen Zahl x\in {\mathbb Q} ordnet man also den Schnitt

x^{*}:=\{s\in {\mathbb Q}\mid s<x\}

zu. Aber auch die irrationalen Zahlen lassen sich durch Schnitte darstellen. Die Zahl {\sqrt {2}} entspricht zum Beispiel dem Schnitt

{\displaystyle \{s\in \mathbb {Q} \mid s<0{\text{ oder }}s^{2}<2\}\,}.[7]

Damit man die Schnitte sinnvoll „Zahlen“ nennen kann, muss man die Rechenoperationen und die Ordnung der neuen Zahlen so festsetzen, dass sie die Rechenoperationen auf den rationalen Zahlen und deren Ordnung fortsetzen.

Seien dazu \alpha und \beta zwei beliebige Schnitte.

Ordnung

Man setzt \alpha <\beta genau dann, wenn \alpha echte Teilmenge von \beta ist.

Dies definiert eine strenge Totalordnung auf \mathbb {R} . Diese ist sogar (nach Konstruktion) ordnungsvollständig, das heißt jede beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum. Ist nämlich A eine Menge von Schnitten und \beta eine obere Schranke, so ist also jeder Schnitt \alpha \in A eine Teilmenge von \beta . Die Vereinigung aller \alpha \in A ist dann auch ein Schnitt, die kleinste obere Schranke von A.

Addition

Man definiert \alpha +\beta :=\{r+s\mid r\in \alpha ,s\in \beta \}.

Man kann zeigen, dass dies tatsächlich eine Addition, also eine kommutative, assoziative Verknüpfung, definiert und dass es zu jedem Schnitt \alpha ein additiv inverses Element -\alpha gibt. Des Weiteren fällt die Definition dieser Addition mit der bereits bekannten Addition auf \mathbb {Q} zusammen.

Multiplikation

Für \alpha >0^{*} und \beta >0^{*} definiert man die Multiplikation wie folgt:

\alpha \cdot \beta :=\{p\in {\mathbb Q}\mid \exists \,r\in \alpha ,s\in \beta ,r,s>0\colon p\leq r\cdot s\}

Diese Multiplikation kann man auf ganz \mathbb {R} ausdehnen, indem man

\alpha \cdot 0^{*}:=0^{*}\cdot \alpha :=0^{*}

und

\alpha \cdot \beta :={\begin{cases}(-\alpha )\cdot (-\beta )&\alpha ,\beta <0^{*}\\-((-\alpha )\cdot (\beta ))&\alpha <0^{*},\beta >0^{*}\\-((\alpha )\cdot (-\beta ))&\alpha >0^{*},\beta <0^{*}\end{cases}}

definiert. Auch diese Multiplikation ist assoziativ, kommutativ und es gibt zu jedem a\neq 0 ein Inverses a^{-1}. Zudem fällt diese Multiplikation auch mit der auf {\mathbb Q} zusammen, falls die Faktoren rational sind.

Verallgemeinerungen


Siehe auch


Literatur


Weblinks


Einzelnachweise und Anmerkungen


  1. Joseph Bertrand: Traité d'Arithmétique 1849, S. 203: „Eine inkommensurabele Zahl kann nur definiert werden, indem angegeben wird, wie die Größe, die sie ausdrückt, durch die Einheit gebildet werden kann. Im Folgenden nehmen wir an, dass diese Definition darin besteht, anzugeben welche kommensurabele Zahlen kleiner oder größer als die Zahl sind....“
  2. Detlef Spalt: Eine kurze Geschichte der Analysis. Springer, 2019, S. 229, doi:10.1007/978-3-662-57816-2 .
  3. Dies bedeutet, dass (\alpha ,\beta ) eine Zerlegung (Partitionierung) der Menge der rationalen Zahlen \mathbb {Q} darstellen. Es ist {\displaystyle \beta =\mathbb {Q} \setminus \alpha }.
  4. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dv-Atlas zur Mathematik. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1974, Seite 59.
  5. Edmund Landau: Grundlagen der Analysis. Akademische Verlagsgesellschaft M. B. H., Leipzig 1930, Kapitel 3, §1, Definition 28.
  6. Walter Rudin: Analysis. Oldenbourg Verlag, München 2005, ISBN 978-3-486-57852-2, Seite 19.
  7. Das Beispiel lässt sich leicht verallgemeinern: Der Zahl {\sqrt x} mit rationalem x>0 entspricht der Schnitt
    {\displaystyle \{s\in \mathbb {Q} \mid s<0{\text{ oder }}s^{2}<x\}}.
    Falls {\sqrt x} rational ist, fällt dies auf die obige Definition (für {\displaystyle {\sqrt {x}}^{*}}) zurück.



Kategorien: Ordnungstheorie | Zahl



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