Catalansche Konstante - de.LinkFang.org

Catalansche Konstante

Die catalansche Konstante, üblicherweise mit \({\displaystyle G}\) bezeichnet, ist eine mathematische Konstante. Sie ist der Wert der Reihe

\({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ,}\)

also der Wert \({\displaystyle \beta (2)}\) der dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2. Die Konstante ist nach Eugène Catalan benannt. Ihre Irrationalität wird vermutet, ist aber bis heute unbewiesen. Bekannt ist, dass unendlich viele der Zahlen \({\displaystyle \beta (2,k),k=1,2,3,\ldots }\), irrational sein müssen, dabei mindestens eine von \({\displaystyle \beta (2),\beta (4),\beta (6),\beta (8),\beta (10),\beta (12)}\) und \({\displaystyle \beta (14)}\).[1]

Inhaltsverzeichnis

Geschichte und Bezeichnung


Catalan bezeichnete diese Konstante in einer Arbeit von 1867 mit \({\displaystyle G}\) und gab zahlreiche Integral- und Reihendarstellungen dafür an.

Wert


Ein Näherungswert ist

\({\displaystyle G=0,91596\ 55941\ 77219\ 01505\ 46035\ 14932\ 38411\ 07741\ 49374\ 28167\ \dots }\) (Folge A006752 in OEIS)

Derzeit (28. Februar 2020) sind, nach einer Berechnung von Seungmin Kim vom 16. Juli 2019, 600.000.000.000 Nachkommastellen bekannt.[2]

Weitere Darstellungen


Es gibt eine reichhaltige Fülle anderer Darstellungen, ein Bruchteil davon wird im Folgenden wiedergegeben:

Integraldarstellungen

\({\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}\)
\({\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,{\rm {d}}t}\)
\({\displaystyle G=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}\)

Reihendarstellungen

Nach S. Ramanujan gilt:

\({\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}\ .}\)

Eine andere Reihe enthält die Riemannsche Zetafunktion:

\({\displaystyle G={\frac {1}{16}}\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\zeta (n+2)\ .}\)

Sehr schnell konvergiert folgende Summe (Alexandru Lupaş 2000):[3]

\({\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^{2}-24n+3)\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{2}}{n^{3}\cdot (2n-1)\cdot (4n)!^{2}}}\ .}\)

BBP-artige Reihen

Man hat lange nach einer BBP-Reihe gesucht. Zunächst wurden nur sehr lange Exemplare gefunden. Relativ kurz ist die 9-gliedrige von Victor Adamchik (2007):

\({\displaystyle {\textstyle G={\frac {3}{64}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{64^{n}}}\left({\frac {32}{(12n+1)^{2}}}-{\frac {32}{(12n+2)^{2}}}-{\frac {32}{(12n+3)^{2}}}-{\frac {8}{(12n+5)^{2}}}-{\frac {16}{(12n+6)^{2}}}-{\frac {4}{(12n+7)^{2}}}-{\frac {4}{(12n+9)^{2}}}-{\frac {2}{(12n+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12n+11)^{2}}}\right)}}\)

Literatur


Einzelnachweise


  1. Tanguy Rivoal, Wadim Zudilin: Diophantine properties of numbers related to Catalan’s constant (PDF-Datei, 207 kB), Mathematische Annalen 326, August 2003, S. 705–721 (englisch).
  2. Alexander Yee: Records set by y-cruncher. 24. August 2017, abgerufen am 28. Februar 2020 (englisch).
  3. Alexandru Lupaş: Formulae for some classical constants (PDF-Datei, 169 kB), Preprint, 2000; in Heiner Gonska et al. (Hrsg.): Proceedings of the 4th Romanian-German seminar on approximation theory and its applications, Braşov, Romania, July 3-5, 2000, Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik der Gerhard-Mercator-Universität Duisburg SM-DU-485, 2000, S. 70–76.

Weblinks





Kategorien: Folgen und Reihen | Besondere Zahl

Werbung:


Quelle: Wikipedia - https://de.wikipedia.org/wiki/Catalansche Konstante (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-by-sa-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.


Stand der Informationen: 02.03.2020 03:43:07 CET - Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.