Befreundete Zahlen - de.LinkFang.org

Befreundete Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen, von denen wechselseitig jeweils eine Zahl gleich der Summe der echten Teiler der anderen Zahl ist, bilden ein Paar befreundeter Zahlen.

Oft bezeichnet man die Summe der echten Teiler von x mit \sigma ^{*}(x). Damit lässt sich die Definition auch so formulieren:

Zwei verschiedene natürliche Zahlen a und b bilden ein Paar befreundeter Zahlen, wenn gilt: \sigma ^{*}(a)=b und \sigma ^{*}(b)=a.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele


Die Summe der echten Teiler von 220 ergibt {\displaystyle 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284}
und die Summe der echten Teiler von 284 ergibt {\displaystyle 1+2+4+71+142=220}.
(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992), (67095, 71145), (69615, 87633), (79750, 88730), … (Folge A259180 in OEIS) bzw. (Folge A002025 in OEIS) und (Folge A002046 in OEIS)
{\displaystyle 445953248528881275=3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19\cdot 37\cdot 43\cdot 73\cdot 439\cdot 22483}
{\displaystyle 659008669204392325=5^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19\cdot 37\cdot 73\cdot 571\cdot 1693\cdot 5839}
(6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (66928, 66992), (67095, 71145), (79750, 88730), (100485, 124155), (122265, 139815), (122368, 123152), (141664, 153176), (142310, 168730), (176272, 180848), (185368, 203432), (356408, 399592), (437456, 455344), … (Folge A291422 in OEIS)

Eigenschaften und ungelöste Probleme


Frühe Erwähnungen und der Satz von Thabit Ibn Qurra


Erstmals erwähnte Pythagoras ca. 500 v. Chr. die befreundeten Zahlen 220 und 284. Auf die Frage, was ein Freund sei, antwortete er: "Einer, der ein anderes Ich ist, wie 220 und 284."

1636 teilte Pierre de Fermat in einem Brief an Marin Mersenne mit, dass er die befreundeten Zahlen 17296 und 18416 gefunden habe. Allerdings ermittelte Walter Borho im Jahre 2003, dass dieses Zahlenpaar bereits im 14. Jahrhundert von Ibn al-Banna (1265–1321) sowie von Kamaladdin Farist gefunden wurde. Man zitiert Ibn al-Banna mit: "Die Zahlen 17296 und 18416 sind befreundet, die eine abundant, die andere defizient. Allah ist allwissend."

Man benutzte den Satz von Thabit Ibn Qurra:

Für eine feste natürliche Zahl n sei
{\displaystyle x=3\cdot 2^{n}-1}
{\displaystyle y=3\cdot 2^{n-1}-1}
{\displaystyle z=9\cdot 2^{2n-1}-1}.
Wenn x,y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden Zahlen {\displaystyle a=2^{n}\cdot x\cdot y} und {\displaystyle b=2^{n}\cdot z} befreundet.

Den Beweis dieses Satzes findet man im Artikel über Teilersummen.

Zahlen der Form {\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1} nennt man deswegen auch Thabit-Zahlen. Zwei aufeinander folgende Thabit-Zahlen müssen prim sein, was die möglichen Werte für n sehr einschränkt.

Beispiele

{\displaystyle a=4\cdot 11\cdot 5=220}
{\displaystyle b=4\cdot 71=284}

Heute ist bekannt, dass man mit dem Satz von Thabit keine weiteren befreundeten Zahlen für {\displaystyle n\leq 191.600} ermitteln kann.

Ein Satz von Leonhard Euler


Leonhard Euler verallgemeinerte den Satz von Thabit:

Für eine feste natürliche Zahl n\in \mathbb {N} sei
{\displaystyle x=f\cdot 2^{n}-1}
{\displaystyle y=f\cdot 2^{n-k}-1}
z=f^{2}\cdot 2^{{2n-k}}-1
mit f=2^{k}+1 und n>k>0.
Wenn x,y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden Zahlen a=2^{n}\cdot x\cdot y und b=2^{n}\cdot z befreundet.

Für den Spezialfall {\displaystyle k=1} erhält man den Satz von Thabit.

1747 fand Euler 30 weitere befreundete Zahlenpaare und veröffentlichte diese in seinem Werk De numeris amicabilibus. 3 Jahre später veröffentlichte er weitere 34 Zahlenpaare, davon waren allerdings 2 Paare falsch.

1830 fand Adrien-Marie Legendre ein weiteres Paar.

1866 zeigte der Italiener B. Niccolò I. Paganini (nicht der Violinvirtuose) als 16-Jähriger, dass 1184 und 1210 befreundete Zahlen sind. Diese hatte man bis dahin übersehen. Es ist das zweitkleinste befreundete Zahlenpaar.

1946 veröffentlichte Escott die komplette Liste der 390 befreundeten Zahlenpaare, die bis 1943 bekannt waren.[3]

1985 berechnete Herman te Riele (Amsterdam) alle befreundeten Zahlen kleiner als 10.000.000.000 – insgesamt 1427 Paare.

2007 waren beinahe 12 Mio. befreundete Zahlenpaare bekannt.

Im Mai 2018 waren 1.222.206.716 befreundete Zahlenpaare bekannt.[4]

Man vermutet, dass es unendlich viele befreundete Zahlen gibt, aber ein Beweis ist bisher nicht bekannt.

Der Satz von Walter Borho


Weitere befreundete Zahlen kann man mit Hilfe des Satzes von Walter Borho finden:

Seien A und B befreundete Zahlen mit {\displaystyle A=a\cdot u} und {\displaystyle B=a\cdot s}, wobei {\displaystyle s\in \mathbb {P} } eine Primzahl ist.
Sei weiter {\displaystyle p=u+s+1} eine Primzahl und p kein Teiler von a.
Dann gilt:
Sind für eine feste natürliche Zahl n die beiden Zahlen {\displaystyle q_{1}=(u+1)\cdot p^{n}-1} prim und {\displaystyle q_{2}=(u+1)\cdot (s+1)\cdot p^{n}-1} prim, dann sind {\displaystyle A_{1}=Ap^{n}q_{1}} und {\displaystyle B_{1}=ap^{n}q_{2}} befreundete Zahlen.

Beispiel:

{\displaystyle A=220=2^{2}\cdot 55} und {\displaystyle B=284=2^{2}\cdot 71} sind befreundet. Also sind {\displaystyle a=4,u=55} und {\displaystyle s=71}, wobei s prim ist.
{\displaystyle p=127} ist prim und nicht Teiler von a=4.
  • {\displaystyle {\underline {n=1}}}:
{\displaystyle q_{1}=56\cdot 127-1=7111=13\cdot 547} ist nicht prim. Für n=1 erhält man deshalb keine neuen befreundeten Zahlen.
  • {\displaystyle {\underline {n=2}}}:
{\displaystyle q_{1}=56\cdot 127^{2}-1=903.223} und {\displaystyle q_{2}=56\cdot 72\cdot 127^{2}-1=65.032.127} sind beide prim. Daraus folgt:
{\displaystyle A_{1}=220\cdot 127^{2}\cdot 903.223=4.195.612.705.532} und {\displaystyle B_{1}=4\cdot 127^{2}\cdot 65.032.127=3.204.978.428.740} sind befreundete Zahlen.

Mit Hilfe dieses Satzes fand Borho weitere 10.455 befreundete Zahlen.

Reguläre Paare befreundeter Zahlen


Sei (A,B) ein befreundetes Zahlenpaar mit {\displaystyle A<B} und sei {\displaystyle A=g\cdot a} und {\displaystyle B=g\cdot b} mit {\displaystyle \operatorname {ggT} (A,B)=g} (es ist also g der größte gemeinsame Teiler von A und B). Wenn sowohl a als auch b teilerfremd zu g und quadratfrei sind, dann nennt man (A,B) reguläres befreundetes Zahlenpaar.

Die erste Zahl der kleinsten regulären befreundeten Zahlenpaare sind:

220, 2620, 5020, 10744, 17296, 63020, 66928, 67095, 69615, 100485, 122265, 142310, 171856, 176272, 185368, 196724, 308620, 356408, 437456, 503056, 522405, 600392, 609928, 624184, 635624, 643336, 667964, 726104, 898216, 947835, 998104, 1077890, … (Folge A215491 in OEIS)

Ist ein befreundetes Zahlenpaar nicht regulär, dann ist es ein irreguläres befreundetes Zahlenpaar (oder auch exotisches befreundetes Zahlenpaar).

Wenn bei einem regulären befreundeten Zahlenpaar (A,B) die erste Zahl A genau i Primfaktoren und die zweite Zahl B genau j Primfaktoren hat, dann ist das reguläre befreundete Zahlenpaar vom Typ (i, j).

Beispiele:

Befreundete Zwillingspaare


Ein befreundetes Zahlenpaar (a,b) heißt befreundetes Zwillingspaar (twin amicable pairs), wenn es keine ganzen Zahlen zwischen a und b gibt, welche zu einem anderen befreundeten Zahlenpaar gehören.

Die ersten befreundeten Zwillingspaare sind die folgenden:

(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (66928, 66992), (122368, 123152), (196724, 202444), (437456, 455344), (469028, 486178), (503056, 514736), (522405, 525915), (643336, 652664), (802725, 863835), (998104, 1043096), (1077890, 1099390), … (Folge A273259 in OEIS)

Beispiel:

Das befreundetes Zahlenpaar {\displaystyle (63020,76084)} ist kein befreundetes Zwillingspaar, weil zum Beispiel vom befreundeten Zahlenpaar {\displaystyle (69615,87633)} die erste Zahl {\displaystyle 69615} zwischen {\displaystyle 63020} und {\displaystyle 76084} liegt. Somit ist auch das befreundete Zahlenpaar {\displaystyle (69615,87633)} kein befreundetes Zwillingspaar. Das befreundete Zahlenpaar {\displaystyle (66928,66992)} liegt sogar ganz zwischen {\displaystyle 63020} und {\displaystyle 76084}, ist aber trotzdem ein befreundetes Zwillingspaar, weil zwischen {\displaystyle 66928} und {\displaystyle 66992} keine andere Zahl liegt, die zu einem befreundeten Zahlenpaar gehört.

Verallgemeinerung


Befreundete Zahlenpaare (a, b) erfüllen, wie zu Beginn dieses Artikels schon erwähnt, die Eigenschaft, dass \sigma ^{*}(a)=b und \sigma ^{*}(b)=a. Nimmt man alle Teiler (also nicht nur die echten, sondern auch die Zahl selber), so gilt {\displaystyle \sigma (a)=\sigma (b)=a+b}. Diese Eigenschaft kann man verallgemeinern:

Sei {\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})} ein Zahlentupel mit folgender Eigenschaft:

{\displaystyle \sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\ldots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}}

Dann nennt man das Tupel {\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})} befreundetes Zahlentupel.

Beispiel:

Das Zahlentupel {\displaystyle (1980,2016,2556)} ist ein befreundetes Zahlentripel, weil die Summe aller Teiler (inklusive der Zahl selbst) für alle drei Zahlen immer die Zahl {\displaystyle 6552=1980+2016+2556} ergibt.

Das Zahlenquadrupel {\displaystyle (3270960,3361680,3461040,3834000)} ist ein befreundetes Zahlenquadrupel, weil die Summe aller Teiler (inklusive der Zahl selbst) für alle vier Zahlen immer die Zahl {\displaystyle 13927680=3270960+3361680+3461040+3834000} ergibt.

Verwandte Zahlenklassen


Quasibefreundete Zahlen

Neben den befreundeten Zahlen gibt es noch eine Klasse von Zahlen, die den befreundeten Zahlen ähnlich ist: die quasibefreundeten Zahlen. Sie unterscheiden sich von den befreundeten Zahlen insofern, als bei ihren Teilern außer der Zahl selbst auch die 1 nicht berücksichtigt wird, also nur die nichttrivialen Teiler.

Beispiel:

48 besitzt die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 und 48. Die Zahl 75 besitzt die Teiler 1, 3, 5, 15, 25 und 75. Die Summe der nichttrivialen Teiler von 48 ist 2+3+4+6+8+12+16+24=75, und die Summe der nichttrivialen Teiler von 75 ist 3+5+15+25=48.

Die ersten quasibefreundeten Zahlenpaare lauten:

(48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), (5775, 6128), (8892, 16587), (9504, 20735), (62744, 75495), (186615, 206504), (196664, 219975), (199760, 309135), (266000, 507759), (312620, 549219), (526575, 544784), (573560, 817479), (587460, 1057595), (1000824, 1902215), (1081184, 1331967), … (Folge A005276 in OEIS)

Gesellige Zahlen

Liegt eine Kette (endliche Folge) von mehr als zwei natürlichen Zahlen vor, von denen jede die Summe der echten Teiler des Vorgängers und die erste Zahl die Summe der echten Teiler der letzten Zahl ist, spricht man von geselligen Zahlen (engl. sociable numbers). Es sind momentan (Stand: November 2017) Ketten der Ordnung (Länge) 4, 5, 6, 8, 9 und 28 bekannt.[5]

1.264.460, 1.547.860, 1.727.636, 1.305.184
12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264
21.548.919.483, 23.625.285.957, 24.825.443.643, 26.762.383.557, 25.958.284.443, 23.816.997.477
1.095.447.416, 1.259.477.224, 1.156.962.296, 1.330.251.784, 1.221.976.136, 1.127.671.864, 1.245.926.216, 1.213.138.984
805.984.760, 1.268.997.640, 1.803.863.720, 2.308.845.400, 3.059.220.620, 3.367.978.564, 2.525.983.930, 2.301.481.286, 1.611.969.514
14.316, 19.116, 31.704, 47.616, 83.328, 177.792, 295.488, 629.072, 589.786, 294.896, 358.336, 418.904, 366.556, 274.924, 275.444, 243.760, 376.736, 381.028, 285.778, 152.990, 122.410, 97.946, 48.976, 45.946, 22.976, 22.744, 19.916, 17.716

Im November 2017 waren somit insgesamt 5410 dieser Ketten bekannt.

Unter Aliquot-Folgen (Inhaltsketten) versteht man solche Folgen, bei denen die Summe der echten Teiler eines Folgengliedes gleich dem nachfolgenden Glied ist. Die geselligen Zahlen bilden also periodische Aliquot-Folgen.

Siehe auch


Einzelnachweise


  1. http://sech.me/ap/news.html#20160130
  2. Paul Erdős: On amicable numbers. Publicationes Mathematicae Debrecen 4, 1955, S. 108–111, abgerufen am 3. Juni 2018.
  3. Eric W. Weisstein: Amicable Pair. In: MathWorld (englisch).
  4. Sergei Chernykh Amicable pairs list
  5. Liste von bekannten geselligen Zahlen (englisch). Abgerufen am 3. Juni 2018.

Weblinks


Quellen





Kategorien: Ganzzahlmenge | Zahlentheorie



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Stand der Informationen: 19.10.2019 09:38:19 CEST - Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
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