Barwert


Der Barwert, auch Gegenwartswert genannt (englisch present value), ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Der Barwert ist der Wert, den zukünftige Zahlungen in der Gegenwart besitzen. Er wird durch Abzinsung der zukünftigen Zahlungen und anschließendes Summieren ermittelt. Daneben gibt es noch den Begriff des versicherungsmathematischen Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts darstellt.

Inhaltsverzeichnis

Barwert einer einzigen Zahlung


Im einfachsten Fall ist der Barwert einer einzigen Zahlung zu ermitteln. Dazu müssen folgende Daten gegeben sein:

Der Barwert BW ist dann

\({\displaystyle BW=C\cdot DF(z,T)}\),

wobei die genaue Form des Diskontierungsfaktors \({\displaystyle DF(z,T)}\) von der gewählten Zinskonvention abhängt. Für den einfachen Fall, dass \({\displaystyle T}\) eine ganze Zahl von Jahren bezeichnet, lautet der Barwert

\({\displaystyle BW={\frac {C}{(1+z)^{T}}}}\)

und somit

\({\displaystyle DF(z,T)={\frac {1}{(1+z)^{T}}}}\).

Barwert einer Anleihe


Eine häufige Anwendung der Barwertformel ist, unter Verwendung der Rendite für eine festverzinsliche Anleihe den Preis zu berechnen. Hat die Anleihe mit einem Nominalwert (Rückzahlungsbetrag) N eine Laufzeit von T ganzen Jahren und zahlt sie jährlich einen Kupon von c, so berechnet sich der Barwert aus der Summe der Barwerte der Zinszahlungen und des Barwerts der Rückzahlung:

\({\displaystyle BW=\sum _{t=1}^{T}{\frac {c}{(1+z)^{t}}}+{\frac {N}{(1+z)^{T}}}={\frac {c}{(1+z)}}+{\frac {c}{(1+z)^{2}}}+\dots +{\frac {c}{(1+z)^{T}}}+{\frac {N}{(1+z)^{T}}}}\).

Beträgt die Zeit bis zur ersten Kuponzahlung weniger als ein Jahr, enthält der Barwert zeitanteilige Stückzinsen für den ersten Kupon und wird als „dirty price“ bezeichnet. Zieht man vom „dirty price“ die zeitanteilig abgegrenzten Stückzinsen ab, erhält man den sogenannten „clean price“. Der „clean price“ ist der Preis, der bei Börsennotizen, in Kurslisten o. Ä. aufgeführt wird. Der „dirty price“ ist der Preis, der bei einer Veräußerung tatsächlich gezahlt wird.

Barwert einer Annuität


Als Annuität (oder Rente) bezeichnet man in der Finanzmathematik eine gleich bleibende regelmäßige Zahlung. Wird diese Zahlung nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließt unbegrenzt lange zu, spricht man von einer ewigen Rente (auch Perpetuität genannt).

Der Barwert des Betrages C, der einmal im Jahr auf unbeschränkte Dauer zufließt (z = Zinsfuß : 100, z. B. 5 : 100 = 0,05), ist:

\({\displaystyle BW_{\text{ewig}}={\frac {C}{z}}}\).

Für die ewige Rente gilt also der sehr einfache Zusammenhang, dass der Barwert um einen Faktor gleich dem Kehrwert des Zinssatzes größer als die Zahlung ist. Man kann die ewige Rente als regelmäßigen Zins auf eine Kapitalanlage in Höhe des Barwertes betrachten. Eine ewige Rente hat (bei positivem Zins) einen endlichen Barwert, obwohl die Gesamtsumme aller Zahlungen unendlich ist.

Fließt die (nachschüssige) Rente nur \({\displaystyle N}\) Jahre, so ist der Barwert:

\({\displaystyle BW=BW_{\text{ewig}}\cdot \left(1-{\frac {1}{{\big (}1+z{\big )}^{N}}}\right)={\frac {C}{z}}-C{\frac {1}{z{\big (}1+z{\big )}^{N}}}=C\cdot \left({\frac {1}{z}}-{\frac {1}{z{\big (}1+z{\big )}^{N}}}\right)}\).

Je größer \({\displaystyle N}\) und je größer \({\displaystyle z}\) werden, desto mehr nähert sich das Ergebnis dem einer ewigen Rente an. Der Faktor zwischen Zahlung und Barwert heißt Rentenbarwertfaktor (=BW/C), sein Kehrwert heißt Annuitätenbarwertfaktor (=C/BW).

Beispiele: Bei einem Zinssatz von 5 % ist der Barwert der ewigen Rente 20-mal so groß wie die jährliche Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 20. Der Barwert einer 30 Jahre laufenden Rente ist das 15,4fache der jährlichen Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 15,4. Der Barwert einer einjährigen Rente ist 1/1,05-mal so hoch wie die Ausschüttung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 1/1,05, was etwas größer als 0,95 ist.

Versicherungsmathematischer Barwert


Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch statistische bzw. stochastische Größen wie Sterbewahrscheinlichkeiten und Ähnliches ein.

Der versicherungsmathematische Barwert einer Leibrente zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen (einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers), jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst.

Siehe auch


Weblinks


Wiktionary: Barwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Barwert&oldid=217730392

Navigationsmenü


<



Facebook Twitter WhatsApp Telegram E-Mail





Kategorien: Investitionsrechnung | Finanzmathematik




Stand der Informationen: 07.12.2021 12:13:03 CET

Quelle: Wikipedia (Autoren [Versionsgeschichte])    Lizenz: CC-BY-SA-3.0

Veränderungen: Alle Bilder und die meisten Designelemente, die mit ihnen in Verbindung stehen, wurden entfernt. Icons wurden teilweise durch FontAwesome-Icons ersetzt. Einige Vorlagen wurden entfernt (wie „Lesenswerter Artikel“, „Exzellenter Artikel“) oder umgeschrieben. CSS-Klassen wurden zum Großteil entfernt oder vereinheitlicht.
Wikipedia spezifische Links, die nicht zu Artikeln oder Kategorien führen (wie „Redlink“, „Bearbeiten-Links“, „Portal-Links“) wurden entfernt. Alle externen Links haben ein zusätzliches FontAwesome Icon erhalten. Neben weiteren kleinen Designanpassungen wurden Media-Container, Karten, Navigationsboxen, gesprochene Versionen & Geo-Mikroformate entfernt.

Wichtiger Hinweis Da die gegebenen Inhalte zum angegebenen Zeitpunkt maschinell von Wikipedia übernommen wurden, war und ist eine manuelle Überprüfung nicht möglich. Somit garantiert LinkFang.org nicht die Richtigkeit und Aktualität der übernommenen Inhalte. Sollten die Informationen mittlerweile fehlerhaft sein oder Fehler in der Darstellung vorliegen, bitten wir Sie darum uns per zu kontaktieren: E-Mail.
Beachten Sie auch : Impressum & Datenschutzerklärung.