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Achilles und die Schildkröte




Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer[Anm. 1] und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.[Anm. 2]

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:[1]

  1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.[Anm. 3][Anm. 4]
  2. Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,[Anm. 5] oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in AristotelesPhysik[2][3] und Simplikios’ Kommentar[4] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles[5] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.[6]

Siehe auch


Anmerkungen


  1. Sei \({\displaystyle t}\) die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, \({\displaystyle s}\) der Weg, den Achilles während der Zeit \({\displaystyle t}\) zurücklegt. \({\displaystyle s'}\) der Weg, den die Schildkröte während der Zeit \({\displaystyle t}\) zurücklegt, \({\displaystyle s_{0}}\) der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, \({\displaystyle v_{a}}\) die Geschwindigkeit Achilles', \({\displaystyle v_{s}}\) die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
    \({\displaystyle v_{a}\cdot t=s=s_{0}+s'=s_{0}+v_{s}\cdot t}\), also \({\displaystyle s_{0}=v_{a}\cdot t-v_{s}\cdot t=(v_{a}-v_{s})\cdot t}\); mit \({\displaystyle v_{a}-v_{s}\neq 0}\) folgt nach Division: \({\displaystyle t={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}}\).
    Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit \({\displaystyle t}\) zum Vorsprung \({\displaystyle s_{0}}\) der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von \({\displaystyle t}\) zur Geschwindigkeitsdifferenz \({\displaystyle v_{a}-v_{s}}\).
  2. (Mit \({\displaystyle v_{a}\neq 0}\)) sei weiter \({\displaystyle q={\frac {v_{s}}{v_{a}}}}\) das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass \({\displaystyle v_{s}=q\cdot v_{a}}\), (mit \({\displaystyle v_{s}\neq 0}\)) auch \({\displaystyle {\frac {1}{v_{a}}}={\frac {q}{v_{s}}}}\). Wegen \({\displaystyle v_{a}-v_{s}\neq 0}\) ist \({\displaystyle q\neq 1}\), und der Ausdruck für \({\displaystyle t}\) lässt sich weiter umformen: \({\displaystyle t={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-q\cdot v_{a}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}\cdot (1-q)}}={\frac {q\cdot s_{0}}{v_{s}\cdot (1-q)}}}\); für konstantes Verhältnis \({\displaystyle q}\) der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit \({\displaystyle t}\) zu \({\displaystyle v_{a}}\) bzw. \({\displaystyle v_{s}}\). Die umgekehrte Proportionalität von \({\displaystyle t}\) zu \({\displaystyle v_{s}}\) bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da \({\displaystyle q}\) als konstant vorausgesetzt wird).
  3. Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit \({\displaystyle t}\) auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei \({\displaystyle s_{0}}\) wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, \({\displaystyle t_{0}}\) die Zeit, die Achilles benötigt, um \({\displaystyle s_{0}}\) zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte \({\displaystyle q}\)-mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit \({\displaystyle t_{0}\cdot q}\) ein weiteres Mal ein, nach der Zeit \({\displaystyle (t_{0}\cdot q)\cdot q=t_{0}\cdot q^{2}}\) ein drittes Mal usw. Mit \({\displaystyle q^{0}=1}\) ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
    \({\displaystyle t=t_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}=t_{0}\cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}q^{k}=t_{0}\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {t_{0}}{1-q}}}\).
    Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, \({\displaystyle q}\) wie oben als Quotienten \({\displaystyle {\frac {v_{s}}{v_{a}}}}\) zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit \({\displaystyle t_{0}={\frac {s_{0}}{v_{a}}}}\) weiter:
    \({\displaystyle t={\frac {t_{0}}{1-q}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-q\cdot v_{a}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}};}\)
    die konvergente geometrischen Reihe \({\displaystyle t_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}\) ergibt also das gleiche Ergebnis für \({\displaystyle t}\) wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von \({\displaystyle t}\) nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen \({\displaystyle 0<q<1}\) ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.
  4. Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stets klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.)
  5. Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg \({\displaystyle s}\) ausrechnen, den Achilles im Zeitraum \({\displaystyle t}\) (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur \({\displaystyle t}\) bzw. \({\displaystyle t_{0}}\) durch \({\displaystyle s}\) bzw. \({\displaystyle s_{0}}\) zu ersetzen:
    \({\displaystyle s=s_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {s_{0}}{1-q}}}\).
    Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von \({\displaystyle t}\):
    \({\displaystyle s=v_{a}\cdot t={\frac {v_{a}\cdot s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}}\);
    Ausklammern von \({\displaystyle v_{a}}\) im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.

Literatur


Weblinks


Einzelnachweise


  1. Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
  2. VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
  3. Altgriechischer Originaltext in Aristoteles: Physik. (siehe im Bildschirmausschnitt §4). Archiviert vom Original am 16. Mai 2008; abgerufen am 16. Oktober 2013.
  4. Simplicius: On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
  5. Mind 1(1895), S. 278–280.
  6. hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise , In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.



Kategorien: Paradoxon | Vorsokratik | Schildkröte in der Kultur



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