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Abzählende Kombinatorik

Die abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen

In der modernen Kombinatorik werden diese Auswahlen oder Anordnungen auch als Abbildungen betrachtet, so dass sich die Aufgabe der Kombinatorik in diesem Zusammenhang im Wesentlichen darauf beschränken kann, diese Abbildungen zu zählen.

Inhaltsverzeichnis

Anwendungen


Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten auf der Basis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs von Laplace bildet die Kombinatorik eine wichtige Grundlage.

Ein verblüffendes Phänomen der Kombinatorik ist, dass sich oftmals wenige Objekte auf vielfältige Weise kombinieren lassen. Beim Zauberwürfel können beispielsweise die 26 Elemente auf rund 43 Trillionen Arten kombiniert werden. Dieses Phänomen wird oft als kombinatorische Explosion bezeichnet und ist auch die Ursache für das Geburtstagsparadoxon.

Permutationen, Variationen und Kombinationen


Begriffsabgrenzungen

Aufgrund der Vielfalt der Herangehensweisen sind die Schreibweisen und Begrifflichkeiten im Bereich der Kombinatorik leider oft recht uneinheitlich. Zwar bezeichnen übereinstimmend alle Autoren die Vertauschung der Reihenfolge einer Menge von n unterscheidbaren Elementen als Permutation. Wählt man dagegen von diesen n Elementen nur k<n Elemente aus, deren Reihenfolge man anschließend vertauscht, bezeichnen viele Autoren das nun als Variation, geordnete Stichprobe bzw. Kombination mit Berücksichtigung der Reihenfolge, andere dagegen (namentlich im englischsprachigen Raum) weiter als Permutation. Lässt man schließlich in einer solchen Auswahl von Elementen deren Reihenfolge außer Acht, wird solch eine Auswahl nun für gewöhnlich ungeordnete Stichprobe, Kombination ohne Berücksichtigung der Reihenfolge oder einfach nur Kombination genannt. Kombinationen sind also, sofern nichts weiter zu ihnen gesagt wird, in der Regel ungeordnet, Permutationen und/oder Variationen dagegen geordnet, wobei die Frage, ob man Permutationen als Sonderfälle von Variationen (oder umgekehrt) betrachtet, gegebenenfalls von Autor zu Autor unterschiedlich beantwortet wird.

Alles in allem gibt es also zunächst einmal drei (oder auch nur zwei) verschiedene Fragestellungen, die ihrerseits noch einmal danach unterteilt werden, ob es unter den ausgewählten Elementen auch Wiederholungen gleicher Elemente geben darf oder nicht. Ist ersteres der Fall, spricht man von Kombinationen, Variationen oder Permutationen mit Wiederholung, andernfalls solchen ohne Wiederholung. Stellt man sich schließlich vor, dass die ausgewählten Elemente dabei einer Urne oder Ähnlichem entnommen werden, wird dementsprechend auch von Stichproben mit oder ohne Zurücklegen gesprochen:

Ohne Wiederholung bzw. Zurücklegen Mit Wiederholung bzw. Zurücklegen
Mit Berücksichtigung der Reihenfolge
und k = n
Permutation ohne Wiederholung
(engl. n-permutation)
Permutation mit Wiederholung
Mit Berücksichtigung der Reihenfolge
und k < n
Variation ohne Wiederholung
(engl. k-permutation)
Variation mit Wiederholung
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
und k < n
Kombination ohne Wiederholung
(engl. k-combination)
Kombination mit Wiederholung

Anzahlen

Bezeichnet n die Zahl der vorhandenen Elemente und k_{1},\ldots ,k_{s} die jeweiligen Anzahlen der Elemente, die nicht unterscheidbar sind, dann gilt für die Anzahl möglicher Permutationen:

  ohne Wiederholung/Zurücklegen
(a,b,c)
mit Wiederholung/Zurücklegen
(a,a,b)
Permutationen
(a,b)\neq (b,a)
~n!~

\rightarrow Fakultät
{\displaystyle {\frac {(k_{1}+\ldots +k_{s})!}{k_{1}!\cdot \ldots \cdot k_{s}!}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot \ldots \cdot k_{s}!}}={\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{s}}}}

\rightarrow Multinomial

Bezeichnet n die Zahl der vorhandenen Elemente und k die Zahl ausgewählten Elemente, dann gilt für die Anzahl möglicher Variationen und Kombinationen:

  ohne Wiederholung/Zurücklegen
(a,b,c),\{a,b,c\}
mit Wiederholung/Zurücklegen
(a,a,b),\{a,a,b\}
Variationen
(a,b)\neq (b,a)
{n \choose k}\cdot {k!}={\frac {n!}{\left(n-k\right)!}} ~n^{k}~

\rightarrow k-Tupel
Kombinationen
\{a,b\}=\{b,a\}
{n \choose k}={\frac {n!}{{\left(n-k\right)!}\cdot k!}}

\rightarrow Mengen (k-Teilmengen)
\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot k!}}

\rightarrow Multimengen

Bälle und Fächer


Eine Verallgemeinerung des Urnenmodells ist ein von Gian-Carlo Rota popularisiertes Modell mit Bällen und Fächern, im Englischen nach einem Vorschlag von Joel Spencer auch Twelvefold Way („Zwölffacher Weg“) genannt.[1][2] Gesucht ist dabei die Anzahl der Möglichkeiten, k Bälle auf n Fächer zu verteilen, wobei die Bälle und Fächer jeweils entweder unterscheidbar oder nicht unterscheidbar sind und entweder keine weitere Bedingung gilt oder in jedes Fach höchstens ein Ball kommen darf oder mindestens ein Ball kommen muss. Man erhält folgende Übersicht:

k Bälle n Fächer Beschränkung auf Anzahl der Bälle pro Fach
unterscheidbar? max. 1 mind. 1
{\displaystyle \checkmark } {\displaystyle \checkmark } n^{k} {\displaystyle {\tfrac {n!}{(n-k)!}}=k!\,{\tbinom {n}{k}}} n!\,S_{k,n}
\times {\displaystyle \checkmark } {\displaystyle \left(\!\!{\tbinom {n}{k}}\!\!\right)={\tbinom {k+n-1}{n-1}}} {\tbinom {n}{k}} {\displaystyle \left(\!\!{\tbinom {n}{k-n}}\!\!\right)={\tbinom {k-1}{n-1}}}
{\displaystyle \checkmark } \times {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}S_{k,r}} {\displaystyle {\begin{array}{lll}1&:&k\leq n\\0&:&k>n\end{array}}} S_{k,n}
\times \times {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}P_{k,r}=P_{k+n,n}} {\displaystyle {\begin{array}{lll}1&:&k\leq n\\0&:&k>n\end{array}}} P_{k,n}

Dabei ist S_{k,n} die Anzahl der Möglichkeiten, eine k-elementige Menge in n nichtleere disjunkte Teilmengen aufzuteilen (Stirling-Zahl zweiter Art), und P_{k,n} die Anzahl der Möglichkeiten, die Zahl k als Summe von n positiven ganzen Zahlen ohne Beachtung der Reihenfolge darzustellen (siehe Partitionsfunktion).

Äquivalente Darstellungen


Wird in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega ,P) die Anzahl der möglichen Ereignisse durch eine der obigen kombinatorischen Formeln gegeben, dann können über die vollständige Zerlegung des Ereignisraums äquivalente Darstellungen für sie abgeleitet werden. Die folgenden beiden Modelle verdeutlichen dies. Es werden k Bälle zufällig auf n\leq k Fächer verteilt. Man betrachte die Ereignisse E_{j}, dass j Fächer, j=1,\ldots ,n, mindestens einen Ball enthalten unter der Prämisse:

  1. Kein Ball wird von vornherein einem Fach zugeordnet.
  2. Jeder Ball wird von vornherein einem Fach zugeordnet, kann aber in einem anderen Fach landen.

Der erste Fall entspricht der Variante „nicht unterscheidbare Bälle, unterscheidbare Fächer“. Die vollständige Zerlegung des Ereignisraums in die disjunkten Ereignisse E_{j} ergibt dann

|\Omega |={\binom {n+k-1}{k}}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\binom {k-1}{k-j}}.

Der zweite Fall entspricht der Variante „unterscheidbare Bälle, unterscheidbare Fächer“. Die vollständige Zerlegung des Ereignisraums analog zum ersten Fall ergibt die äquivalente Darstellung

|\Omega |=n^{k}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}\sum _{i=0}^{j-1}(-1)^{i}{\binom {j}{j-i}}(j-i)^{k}.

Für n=k ist das Ereignis, dass alle Fächer mindestens einen Ball besitzen, gleich dem Ereignis, dass alle Fächer genau einen Ball besitzen, und enthält n! Elemente. Daraus folgt

n!=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}{\binom {n}{n-i}}(n-i)^{n}.

Literatur


Weblinks


WiktionaryWiktionary: Kombinatorik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise


  1. Richard P. Stanley: Enumerative combinatorics (Band 1), Cambridge University Press, 2. Auflage 2012, ISBN 978-1-107-01542-5, S. 79 ff. und 107 f. (englisch; Stanleys Webseite zum Buch mit der letzten Vorabversion und Errata als PDF: Enumerative Combinatorics, volume 1, second edition )
  2. Aigner: Diskrete Mathematik, 2006, S. 10



Kategorien: Kombinatorik | Teilgebiet der Mathematik



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